Difficultées DM suites
Bonjour, alors voila j'ai un dm à faire mais je bloque totalement sur une des questions voici l'énoncé: Soit (un) la suite réelle définie par son premier terme U0 et par la condition: pour tout n appartient a N, Un+1= Un²+Un
Démontrer que si U0²+U0>0, alors la suite (Un) diverge
Je ne sais pas du tout comment faire. J'espère que vous pourrez m'aider ou du moins m'éclairer sur la chose. mercii
je sais pas si tu as deja fais, mais la demonstration par reccurence sa peut peut-etre marcher !?
Si la suite convergeait, quelle serait sa limite ?
Quel est son sens de variation ?
Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.
J'ai essayé la démonstration par récurrence mais sa ne marche pas et d'après une question précédente je sais que la suite est strictement croissante.
D'accord, God's breath t'a suggeré de regarder la limite de la suite si celle ci convergeait.Envoyé par lamiss991
Dans.
Si on suppose que Un est convergente disons vers un réel l.
Que se passe t-il alors dans cette expression lorsque n tend vers + l'infini?
Quelle est alors la valeur de l?
Conclusion?
j'ai trouvé que la limite l =0, c'est bon?
oui
est-ce possible?
je ne pense pas vu que U0²+U0>0
Donc U1>0
et que .........
Quel est l'argument qui nous permet de dire que c 'est impossible?
Comme U1>0 il est impossible que la suite converge vers 0
Pourquoi?
(C'est juste mais il manque un truc à dire)
car la suite est croissante
voilà, c'est pour cela qu'on peut affirmer que c'est impossible
Merci beaucoup pour le temps que tu m'a accordé
hello,
Voici une petite simulation sous Excel:
u0 0,5
u1 0,75
u2 1,31
u3 3,04
u4 12,25
u5 162,24
u6 26485,49
u7 701507906,71
u8 492113343873337000,00
C'est une suite qui croit très vite!
Tout dépend de U1, si U1<0 Alors la suite converge:
u0 -0,2
u1 -0,16
u2 -0,13
u3 -0,12
u4 -0,10
u5 -0,09
u6 -0,08
et si U1>0 Alors la suite diverge.
Avant tout il faut constater qu'il s'agit d'une suite croissante. très facile de le démontrer: Un+1 - Un-1 = Un^2>0 don (un) est croissante.
Un+1=Un(Un +1)
Un=Un-1(Un-1 +1)
.
.
.
U2=U1(U1 + 1)
U1=U0(U0 +1)
_________________
Un+1=(Un +1)(Un-1 +1)...(U1 + 1)U0(U0 +1)
Cette nouvelle expression est obtenue en multipliant toutes les égalités et après simplification.
Un+1=(Un +1)(Un-1 +1)...(U1 + 1)(U0^2 +U0)
Un+1=(Un +1)(Un-1 +1)...(U1 + 1)U1
(Un) est croissante donc:
(Un +1)(Un-1 +1)...(U1 + 1)U1 > (U1 +1)(U1 +1)...(U1 + 1)U1
Donc Un+1> U1(U1 +1)^n avec U1=U0^2 + U0
On a une majoration de la suite!
Une étude de limite lorsque n tend vers l'infini permet de conclure:
lim (U1 +1)^n diverge car U1+1>1 en effet:
lim (a)^n -> 0 si a<1 a étant strictement positif
lim (a)^n -> infini si a>1 donc :
lim (U1 +1)^n tend vers l'infini
Par suite: U1(U1 +1)^n tends vers +infini car U1>0
Conclusion: la suite (un) majore une suite divergente U1(U1 +1)^n donc elle est donc divergente aussi.
(un) diverge si U1>0
A++++++
Rectification sur la croissance de la suite (un):
Un+1 - Un = Un^2>0 non pas Un+1 - Un-1 = Un^2>0
Merci pour toutes ces précisions.
J'espère que tu as compris le raisonnement...
oui j'ai compris même si ça m'a pris un peu de temps ^^
