Complexe ensemble de points [TS]

[invite890931c6]

Bonsoir,

soit la transformation qui associe pour tout point M d'affixe le point M' d'affixe .



1) déterminer les points du plan tel que M = M'

pour cela on résout :




ou

2) étant donné un nombre différent de , on note et

a) exprimer x,y en fonction de a, b

je fais


(puis-je encore simplifier ?)

b) Déterminer l'ensemble des points M tels que soit réel.

pour cela je pose comme condition que

j'arrive d'après a) à :



et là je sèche (je sais qu'il faudrait reconnaitre l'équation caractéristique d'une transformation)...

si vous pouviez me donner une piste avant demain matin
Merci.
-----

[Arkangelsk]

Bonsoir,

Juste un conseil : ne mélange pas d'emblée les et avec les et . Sépare tout simplement les parties réelle et imaginaire de après avoir transformé en . Peut-être le plus simple pour les calculs est-il d'exprimer en fonction de (je n'ai pas fait les calculs).

[invite890931c6]

tu pensais à ça ?
je ne vois pas trop où sa peut me mener...

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

Tu réécris ça sous forme algébrique en multipliant par le conjugué du dénominateur. et par identification tu a z = x + iy = f(a,b) + g(a,b).

Duke.

EDIT : comment fais-tu pour trouver b=0 ??

[A voir en vidéo sur Futura]

[Duke Alchemist]

Re-

Fais comme Arkangelsk te propose.
Exprime z en fonction z'.
Ensuite remplace z' par a+ib
Tu arranges l'écriture pour obtenir une expression de la forme proposée dans mon message précédent mais b n'est pas forcément nul...

EDIT : Indique ce que tu trouves, je te donnerais la solution afin de comparer (j'ai fait le calcul )
RE-EDIT : je viens de voir le b=0... c'est pour la question suivante

[invite890931c6]

J'exprime z en fonction de z' (note : dans l'énoncé on a z' en fonction de z ?)









c'est bon ?

z' est réel pur



et après ?

[Duke Alchemist]

J'exprime z en fonction de z' (note : dans l'énoncé on a z' en fonction de z ?)

J'arrêterais là... car si je ne me trompe pas (c'est mal de me faire douter ), le conjugué de z'-i n'est pas z'+i mais z'*+i. (*=conjugué)

C'est à cette dernière ligne qu'il faut remplacer z' par a+ib et réécrire sous forme algébrique.

[invite890931c6]

pas bête j'étais trop dans la question 2) je n'y ai pas fait attention.



ça concorde avec tes calculs ?

mais après je ne trouve toujours pas comment on peut trouver ... (je suis surement très fatigué ce soir)

EDIT : xD donc z est un imaginaire pure positif à première vu, donc il est situé sur la demi droite d'origine O et de vecteur directeur d'affixe i .

[Duke Alchemist]

Bizarre...

On n'est pas d'accord sur le dénominateur.

Sous réserve de "plantade", je trouve :



Et quand b=0, il y a une relation simple entre l'expression de y et celle de x.

EDIT : Un truc rigolo pour le cas b=1 aussi...

[Arkangelsk]

Une remarque supplémentaire : ton équation de départ peut se réécrire pour :
. Là, on observe quelque chose qui n'apparaît pas forcément au premier coup d'oeil : les rôles de et sont symétriques, c'est à dire que l'on peut remplacer indifféremment par .

On peut donc écrire :

Conséquence : exprimer x,y en fonction de a et b est équivalent à exprimer a,b en fonction de x et y ...

[invite890931c6]

oui je me suis royalement planté sur toute la ligne...

donc quand b = 0

et


EDIT : pour b = 1 c'est sur que c'est plus facile

[inviteace2f602]

Hello,

Dans ton cours sur les complexes, quelles sont les propriétés que doit vérifier un nombre complexe Z pour qu'il soit réel??

Indications:

1) une propriété avec l'argument de Z
2) une seconde avec la forme algébrique de Z

[invite890931c6]

et

[Arkangelsk]

oui je me suis royalement planté sur toute la ligne...

donc quand b = 0

et

Exact. Et j'ai la même expression que Duke Alchemist avec et .

Petite note (encore !) :

z' est réel pur

ne se dit pas (redondant) : on dit soit z' est un réel (donc, pas de partie imaginaire), soit z' est un imaginaire pur (donc, pas de partie réelle).

[invite890931c6]

et donc comment je conclus sur la nature de ?

[Duke Alchemist]

oui je me suis royalement planté sur toute la ligne...

donc quand b = 0

et

Donc quelle relation y a-t-il entre x et y ? (c'est ce qui est demandé )

EDIT : pour b = 1 c'est sur que c'est plus facile

En fait, la relation est la même et pour raison de symétrie.
Ex : pour b=2 et b=-1 on trouve la même solution (pas la même que pour b=0 et b=1 bien sûr). C'est généralisable.

[invite890931c6]

comme quoi les exercices d'approfondissement de fin de bouquin sont intéressant !

[inviteace2f602]

Arg(z’)=pi/2 + arg(z) - arg(z-i)
z' est reel si Arg(z’)=0(pi)

On traduit cette expression avec les angles orientés correspondants
0(pi)= pi/2 + (u, OM) –(u,AM) A étant le point du plan d’affixe i
(AM, OM)= -pi/2 (pi) Je te laisse conclure sur l’ensemble des points vérifiant cette relation….Un joli petit cercle…

[inviteace2f602]

Méthode algébrique :
Z’ est réel si seulement si Im(z’)=0 avec z’=a+ib
Donc ce n’es pas sorcier ! Il suffit de calculer la partie imaginaire de z’ dans un premier temps :
Im(z’) = b= [x^2 + y(y-1)]/ [x^2 + (y-1)^2]
Im(z’)=0 équivalent à : [x^2 + y(y-1)]=0
Soit : x^2 +y^2 –y =0
Il faut faire apparaître l’équation d’un cercle :
x^2 +(y-1/2)^2 = 1/4 Il s’agir du cercle de centre C(0, ½) et de rayon ½ !
Avec les 2 méthodes on retombe sur le cercle de centre C(0, ½)

[inviteace2f602]

Il faudra juste exclure le point A d'affixe i du lieux géométrique (le cercle de centre C) vu que z' n'est pas définie pour i.

A++