Problème avec une convergence d'une suite

[invitee16c33f5]

Bonjour j'ai un exercice à faire et je ne vois pas du tout comment je pourrait trouver
J'ai cherché toutes les solutions possibles

Donc je cherche à étudier la convergence dune suite Un tel que Un=(1+1/n)^n

On sait que Un est majorée par e^1
e^1<ou= (1+1/n)^n+1

Voilà aider moi s'il vous plait

Merci d'avance
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[invite890931c6]

ta suite c'est bien ?

je me méfie maintenant...

[invitee16c33f5]

ta suite c'est bien ?

je me méfie maintenant...

exactement oui

[invite890931c6]

tu vois pourquoi ? est ça ta question, ou me suis-je fourvoyé ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee16c33f5]

tu vois pourquoi ? est ça ta question, ou me suis-je fourvoyé ?

désolé de te décevoir oui je vois pourquoi tu di cela mais j'ai le regret de te dire que ce n'est pas ça

EX: si n=1000
alor u1000=(1001/1000)^1000
u1000=2,7169...

Donc tu a tort désolé parce moi aussi au départ je pensais que c'était cela et en plus je cherche à trouver la convergence puis à déterminer la limite mais cela c'est de ma faute j'avais mal poser ma question

[Flyingsquirrel]

Donc je cherche à étudier la convergence dune suite Un tel que Un=(1+1/n)^n

On sait que Un est majorée par e^1
e^1<ou= (1+1/n)^n+1

Par hasard, est-ce que tu n'aurais pas déjà montré que les suite et sont adjacentes ?

[invite890931c6]

hum effectivement,

et si on part de exp ?



on s'en sort non ?

[invite890931c6]

non en faite, je dis n'importe quoi

c'est très curieux parceque on a bien
et par composition de limite,

à part la méthode des suites adjacentes il n'y as pas une technique plus algébrique pour résoudre ça ?

[Flyingsquirrel]

et si on part de exp ?



on s'en sort non ?

Oui (l'argument de l'exponentielle est presque un taux d'accroissement).

c'est très curieux parceque on a bien
et par composition de limite,

Tu n'as pas le droit de composer ces deux limites, «» est une forme indéterminée.

Par exemple, alors que . Pourtant ces deux limites sont bien de la forme «»...

(Je ne justifie pas la valeur de ces limites tout de suite, la démonstration ressemblerait trop à ce que l'on attend de perquemener si jamais il décide d'utiliser l'indication du message #7.)

à part la méthode des suites adjacentes il n'y as pas une technique plus algébrique pour résoudre ça ?

Celle que tu suggères au message #7.

[invite890931c6]

comme quoi j'ai des lueurs d'intelligence défois

je m'y met, ça me fera de l'avance sur le chapitre

[invite890931c6]

Bonsoir,

J'ai un peu de temps.
Je poste une démonstration, intuitivement ça marche, j'aimerais savoir si elle est rigoureuse, et si oui jusqu'à quel point.

on cherche donc à déterminer
on a
Or on sait que



On pose et on a bien

donc finalement
et

d'où

J'attends vos avis, merci.

[Flyingsquirrel]

Or on sait que

Le membre de droite ne peut pas dépendre de . Il faut s'en tenir à la version habituelle : .

donc finalement

Idem, le membre de droite ne peut pas dépendre de . On peut toutefois écrire .

d'où

C'est effectivement ce que vaut la limite...


Bien que l'on ne puisse pas écrire , l'idée que se comporte (en gros) comme quand tend vers l'infini est intéressante. C'est même tellement intéressant que ça a été formalisé : on dit qu'une suite est équivalente à une suite si ne s'annule pas à partir d'un certain rang et si . On note alors .

On peut trouver pas mal d'exemples d'équivalents en utilisant les taux d'accroissements, notamment , , ... Il y en a d'autres qui sont un petit peu plus compliqués à démontrer comme (formule de Stirling) ou ...

Quelques propriétés qui font que les équivalents sont utiles pour calculer des limites :

1. si alors et ont la même limite ;
2. si et alors et (mais n'est a priori pas équivalent à ).

Un exemple : calculer . On sait que et que donc, en faisant le quotient et grâce à la propriété 2, . On passe ensuite à la limite ce qui nous donne, grâce à la propriété 1, . Pratique, non ?

[invite890931c6]

Donc si je comprend bien, toi tu justifierais juste que :

[invite6f30adc8]

un=exp(n*ln(1+1/n))
or 1/n tend vers l'infini donc ln(1+1/n) équivalent à 1/n, puis n*ln(1+1/n) est équivalent à n/n ie 1 et exp(1) tend vers exp(1)
et finalement un tend vers e!!
ET non pas 1 comme je l'ai vu!

[Flyingsquirrel]

Donc si je comprend bien, toi tu justifierais juste que :

Oui. Comme , une fois que l'on connait la limite de cette expression quand tend vers l'infini, il suffit de dire que, comme l'exponentielle est continue,