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Problème avec une convergence d'une suite



  1. #1
    perquemener

    Problème avec une convergence d'une suite


    ------

    Bonjour j'ai un exercice à faire et je ne vois pas du tout comment je pourrait trouver
    J'ai cherché toutes les solutions possibles

    Donc je cherche à étudier la convergence dune suite Un tel que Un=(1+1/n)^n

    On sait que Un est majorée par e^1
    e^1<ou= (1+1/n)^n+1

    Voilà aider moi s'il vous plait

    Merci d'avance

    -----

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  3. #2
    VegeTal

    Re : Problème avec une convergence d'une suite

    ta suite c'est bien ?

    je me méfie maintenant...
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  4. #3
    perquemener

    Re : Problème avec une convergence d'une suite

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    ta suite c'est bien ?

    je me méfie maintenant...
    exactement oui

  5. #4
    VegeTal

    Re : Problème avec une convergence d'une suite



    tu vois pourquoi ? est ça ta question, ou me suis-je fourvoyé ?
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    perquemener

    Re : Problème avec une convergence d'une suite

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message


    tu vois pourquoi ? est ça ta question, ou me suis-je fourvoyé ?
    désolé de te décevoir oui je vois pourquoi tu di cela mais j'ai le regret de te dire que ce n'est pas ça

    EX: si n=1000
    alor u1000=(1001/1000)^1000
    u1000=2,7169...

    Donc tu a tort désolé parce moi aussi au départ je pensais que c'était cela et en plus je cherche à trouver la convergence puis à déterminer la limite mais cela c'est de ma faute j'avais mal poser ma question

  8. #6
    Flyingsquirrel

    Re : Problème avec une convergence d'une suite

    Citation Envoyé par perquemener Voir le message
    Donc je cherche à étudier la convergence dune suite Un tel que Un=(1+1/n)^n

    On sait que Un est majorée par e^1
    e^1<ou= (1+1/n)^n+1
    Par hasard, est-ce que tu n'aurais pas déjà montré que les suite et sont adjacentes ?

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  10. #7
    VegeTal

    Re : Problème avec une convergence d'une suite

    hum effectivement,

    et si on part de exp ?



    on s'en sort non ?
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  11. #8
    VegeTal

    Re : Problème avec une convergence d'une suite

    non en faite, je dis n'importe quoi

    c'est très curieux parceque on a bien
    et par composition de limite,

    à part la méthode des suites adjacentes il n'y as pas une technique plus algébrique pour résoudre ça ?
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  12. #9
    Flyingsquirrel

    Re : Problème avec une convergence d'une suite

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    et si on part de exp ?



    on s'en sort non ?
    Oui (l'argument de l'exponentielle est presque un taux d'accroissement).
    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    c'est très curieux parceque on a bien
    et par composition de limite,
    Tu n'as pas le droit de composer ces deux limites, «» est une forme indéterminée.

    Par exemple, alors que . Pourtant ces deux limites sont bien de la forme «»...

    (Je ne justifie pas la valeur de ces limites tout de suite, la démonstration ressemblerait trop à ce que l'on attend de perquemener si jamais il décide d'utiliser l'indication du message #7.)
    à part la méthode des suites adjacentes il n'y as pas une technique plus algébrique pour résoudre ça ?
    Celle que tu suggères au message #7.

  13. #10
    VegeTal

    Re : Problème avec une convergence d'une suite

    comme quoi j'ai des lueurs d'intelligence défois

    je m'y met, ça me fera de l'avance sur le chapitre
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  14. #11
    VegeTal

    Re : Problème avec une convergence d'une suite

    Bonsoir,

    J'ai un peu de temps.
    Je poste une démonstration, intuitivement ça marche, j'aimerais savoir si elle est rigoureuse, et si oui jusqu'à quel point.

    on cherche donc à déterminer
    on a
    Or on sait que



    On pose et on a bien

    donc finalement
    et

    d'où

    J'attends vos avis, merci.
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  15. #12
    Flyingsquirrel

    Re : Problème avec une convergence d'une suite

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    Or on sait que

    Le membre de droite ne peut pas dépendre de . Il faut s'en tenir à la version habituelle : .

    donc finalement
    Idem, le membre de droite ne peut pas dépendre de . On peut toutefois écrire .

    d'où
    C'est effectivement ce que vaut la limite...


    Bien que l'on ne puisse pas écrire , l'idée que se comporte (en gros) comme quand tend vers l'infini est intéressante. C'est même tellement intéressant que ça a été formalisé : on dit qu'une suite est équivalente à une suite si ne s'annule pas à partir d'un certain rang et si . On note alors .

    On peut trouver pas mal d'exemples d'équivalents en utilisant les taux d'accroissements, notamment , , ... Il y en a d'autres qui sont un petit peu plus compliqués à démontrer comme (formule de Stirling) ou ...

    Quelques propriétés qui font que les équivalents sont utiles pour calculer des limites :
    1. si alors et ont la même limite ;
    2. si et alors et (mais n'est a priori pas équivalent à ).

    Un exemple : calculer . On sait que et que donc, en faisant le quotient et grâce à la propriété 2, . On passe ensuite à la limite ce qui nous donne, grâce à la propriété 1, . Pratique, non ?

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  17. #13
    VegeTal

    Re : Problème avec une convergence d'une suite

    Donc si je comprend bien, toi tu justifierais juste que :

    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  18. #14
    matBos

    Re : Problème avec une convergence d'une suite

    un=exp(n*ln(1+1/n))
    or 1/n tend vers l'infini donc ln(1+1/n) équivalent à 1/n, puis n*ln(1+1/n) est équivalent à n/n ie 1 et exp(1) tend vers exp(1)
    et finalement un tend vers e!!
    ET non pas 1 comme je l'ai vu!

  19. #15
    Flyingsquirrel

    Re : Problème avec une convergence d'une suite

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    Donc si je comprend bien, toi tu justifierais juste que :

    Oui. Comme , une fois que l'on connait la limite de cette expression quand tend vers l'infini, il suffit de dire que, comme l'exponentielle est continue,

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