Répondre à la discussion
Affichage des résultats 1 à 18 sur 18

Nombres complexes



  1. #1
    shidoku

    Nombres complexes


    ------

    Alors voilà un DM que j'ai à faire, je bloque sur l'exo deux et je ne comprends pas une question de l'exo 1.

    Exercice 1 :

    On considère les nombres complexes z1=√2 + i√6 ; z2 = 2 + 2i ; Z = z1/z2 .

    1) Ecrire Z sous forme algébrique.
    2) Donner le module et l'argument de chacun des complexes z1, z2 et Z.
    3) En déduire cos(π/12) et sin(π/12).
    4) Ecrire sous forme algébrique le nombre complexe Z^2008

    Exercice 2 :

    Soit f l'application, qui, à tout nomre complexe z différent de -2i associe :

    Z=f(z)= (z-2+i)/(z+2i)

    On appelle A et B les points d'affixes za 2-i et zb=-2i

    1) Déterminer l'ensemble E des points M, d'affixe z, tels que Z est un réel.
    2) Déterminer l'ensemble F des points M, d'affixe z, tls que Zest un imaginaire pur.
    3 Calculer |f(z)-1|*|z+2i|, et montrer que lorsque le point M d'affixe z parcourt le cercle de centre B et de rayon √5, alors que le point M' d'affixe Z appartient à un même cercle dont on précisera le rayon et l'affixe du centre.

    Voilà les résultats que j'ai:

    Exercice 1 :

    1) Z = 2(√6+√2)/8 + 2i(-√2+√6)/8

    2) |z1| = √8
    |z2| = √8
    |Z| = 1

    arg(z1) = π/3 [2π]
    arg(z2) = π/4 [2π]
    arg(Z) = π/12[2π]

    3)je n'ai pas compris la question

    4) Z^2008 = (2(√6+√2)/8)^2008 + (2i(-√2+√6)/8)^2008

    Mais bon je ne sais pas trop si c'est ça ou alors plutôt le mettre sous forme exponentielle, mais ça ne colle pas à la question sinon.

    Exercice 2 :

    Alors là j'ai vraiment besoin d'aide , je ne vois pas comment faire.

    -----

  2. Publicité
  3. 📣 Nouveau projet éditorial de Futura
    🔥🧠 Le Mag Futura est lancé, découvrez notre 1er magazine papier

    Une belle revue de plus de 200 pages et 4 dossiers scientifiques pour tout comprendre à la science qui fera le futur. Nous avons besoin de vous 🙏 pour nous aider à le lancer...

    👉 Je découvre le projet

    Quatre questions à explorer en 2022 :
    → Quels mystères nous cache encore la Lune 🌙 ?
    → Pourra-t-on bientôt tout guérir grâce aux gènes 👩‍⚕️?
    → Comment nourrir le monde sans le détruire 🌍 ?
    → L’intelligence artificielle peut-elle devenir vraiment intelligente 🤖 ?
  4. #2
    Jeanpaul

    Re : Nombres complexes

    Tu as trouvé le module et l'argument de Z. Fort bien. Tu l'as aussi écrit sous forme X + i Y.
    Reste à identifier car Z = cos(pi/12) + i sin(pi/12) = X + i Y
    ça te donne cos(pi/12) et sin(pi/12)

    Pour élever Z à une puissance, il vaut mieux raisonner sur le module et l'argument. Ce que tu as écrit n'est pas juste.

  5. #3
    shidoku

    Re : Nombres complexes

    je vais paraître idiot mais je n'ai pas tout compris à ta réponse.

  6. #4
    shidoku

    Re : Nombres complexes

    on peu m'aider svp ?

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    Jeanpaul

    Re : Nombres complexes

    Tu as écrit :
    Z = 2(√6+√2)/8 + 2i(-√2+√6)/8
    et aussi
    Z = cos(pi/12) + i sin (pi/12) puisque le module vaut 1 et l'argument pi/12
    Donc c'est que
    cos(pi/12) ) = 2(√6+√2)/8 et
    sin(pi/12) = 2i(-√2+√6)/8

    Ensuite comme Z = exp(i pi/12) , comment calculer Z^2008 ?

  9. #6
    shidoku

    Re : Nombres complexes

    Cela veut dire que Z^2008 = exp(i 2008 pi/12) mais après je ne vois pas comment mettre ça sous forme algébrique.
    Et pour l'exercice 2 ?

  10. Publicité
  11. #7
    Jeanpaul

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par shidoku Voir le message
    Cela veut dire que Z^2008 = exp(i 2008 pi/12) mais après je ne vois pas comment mettre ça sous forme algébrique.
    Et pour l'exercice 2 ?
    2008 pi/12 ça s'écrit 2 k pi + quelque chose et c'est ce quelque chose qui est intéressant. Ca se simplifie bien.

    Pour l'exo 2, il faut remarquer que Z est le rapport (z - zA)/(z-zB) donc on peut écrire (z - zA) = Z . (z-zB)
    et là il faut se souvenir qu'un nombre complexe est associé à une similitude, donc qu'on multiplie le vecteur par le module de Z et qu'on le fait tourner de l'argument de Z. C'est dans ton cours, ça.
    Donc Z amène le vecteur BM sur le vecteur AM par homothétie puis rotation.

    Si Z est réel, c'est que les vecteurs AM et BM sont parallèles.
    si Z est imaginaire pur c'est que AM et BM sont perpendiculaires car l'argument vaut pi/2 (ou - pi/2)

  12. #8
    shidoku

    Re : Nombres complexes

    Sinon pour mettre sous forme algébrique on ne peut pas faire :

    Z= 1*(cos pi/12 + i sin pi/12)
    Z^2008 = cos (2008 pi/12) + i sin (2008 pi/12) selon a formule de Moivre.
    Là il est bien sous forme algébrique

  13. #9
    Jeanpaul

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par shidoku Voir le message
    Sinon pour mettre sous forme algébrique on ne peut pas faire :

    Z= 1*(cos pi/12 + i sin pi/12)
    Z^2008 = cos (2008 pi/12) + i sin (2008 pi/12) selon a formule de Moivre.
    Là il est bien sous forme algébrique
    Ben oui, c'est ça parce que le module vaut 1. Ensuite sous peine de ridicule, tu ne vas pas laisser ces 2008 pi/12.

  14. #10
    shidoku

    Re : Nombres complexes

    je trouve pour l'exo 2 Q1) que AM = BM donc que AM appartient à la médiatrice de [AB]

  15. #11
    mx6

    Re : Nombres complexes

    Exactement

  16. #12
    shidoku

    Re : Nombres complexes

    Pour la Q2) j'ai trouvé que M appartenait à un cercle de diametre [AB]

  17. Publicité
  18. #13
    Jeanpaul

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par shidoku Voir le message
    Pour la Q2) j'ai trouvé que M appartenait à un cercle de diametre [AB]
    C'est exact, bravo !
    Mais la Q1 n'est pas juste, les vecteurs MA et MB sont colinéaires, ça ne veut pas dire que les distances MA et MB sont égales.

  19. #14
    shidoku

    Re : Nombres complexes

    Bon jeais m'arrêter là pour aujourd'hui, je vais me reposer ^^, je continuerais ça se soir, et je vais essayer de voir où je me suis trompé sur la Q1) et vais essayer de faire la Q3). Merci et à demain

  20. #15
    shidoku

    Re : Nombres complexes

    J'ai trouvé pour la 1) que M appartenait à la droite (AB)

  21. #16
    Jeanpaul

    Re : Nombres complexes

    Citation Envoyé par shidoku Voir le message
    J'ai trouvé pour la 1) que M appartenait à la droite (AB)
    Ca je veux bien !

  22. #17
    shidoku

    Re : Nombres complexes

    pour la Q3) je ne vois pas trop

  23. #18
    Jeanpaul

    Re : Nombres complexes

    Tu calcules (Z - 1) sachant que Z = f(z) = (z - zA)/(z - zB)
    sans oublier que le module du produit est le produit des modules, tu dois trouver que |Z - 1| est constant et comme ce module c'est la distance de N au point d'affixe 1 tu conclus.
    Tu n'oublies pas que [z-zB| est une constante dans ce cas.

  24. Publicité

Discussions similaires

  1. Nombres complexes
    Par Mathildaa dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 2
    Dernier message: 23/01/2008, 23h46
  2. nombres complexes
    Par spylo dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 3
    Dernier message: 30/01/2007, 11h17
  3. Nombres complexes
    Par yuna60 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 7
    Dernier message: 29/01/2007, 18h50
  4. nombres complexes
    Par meumeumeline dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 6
    Dernier message: 29/11/2006, 09h29
  5. Nombres complexes
    Par Charline21200 dans le forum Mathématiques du collège et du lycée
    Réponses: 1
    Dernier message: 18/10/2006, 15h53