démonstration continuité TS

[invitec3f63e10]

Salut à vous tous,

je suis entrain de faire un exercice, j'ai répondu à quelques questions, alors je vous demande tout simplement de corriger. Merci!

f_n(x)=xⁿlnx si x est différent de 0 et f_n(0) = 0

Démontrer que f₁ est continue sur [0,+00[.

D'une part, on a :
- x---- x est continue sur R, en particulier sur [0,+00[.
- x----lnx est continue sur ]0,+00[.
Donc:
x----xlnx est continue sur ]0,+00[ comme produit de deux fonctions. (1)

D'autre part, pour la continuité de f₁ en 0, on a:
f₁(x)=xlnx et f_n(0) = 0

x appartient Df₁ ; f₁(x) existe
f_n(0) = 0 ; 0 apartient à Df₁
D'où: Df₁=[0,+00[.
0 apartient à Df₁
lim de f₁ = xlnx quand x tend vers 0 est 0 = f(0) (2)

De (1) à (2) on peut en déduire que f₁ est continue sur [0,+00[.
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[invitec3f63e10]

On nous demande aussi que si f₁ est dérivable en 0.

Pour démontrer que f est dérivable en 0, il faut que lim_x---0 (f₁(x) - f₁(0)) / x = f'₁(0)

Or j'ai trouvé que f'₁ (0) = -00
Car: f₁(x) = xlnx f'₁lnx + 1
Or: lim _x---0 de f'₁ = -00

Par conséquent f₁ n'est pas dérivable en 0.

[invitec3f63e10]

f₁ n'est pas dérivable en 0

Je ne sais pas interpréter graphiquement.

[invitec3f63e10]

Est-ce que ça sera la même démonstration du 1er message quand il s'agit de démontrer la continuité de f_n ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite44d70ebf]

On nous demande aussi que si f₁ est dérivable en 0.

Pour démontrer que f est dérivable en 0, il faut que lim_x---0 (f₁(x) - f₁(0)) / x = f'₁(0)

Or j'ai trouvé que f'₁ (0) = -00
Car: f₁(x) = xlnx f'₁lnx + 1
Or: lim _x---0 de f'₁ = -00

Par conséquent f₁ n'est pas dérivable en 0.

Salut
Revois ton cours Pour étudier la dérivabilité de f en un nbre.

[Flyingsquirrel]

Salut,

f_n(x)=xⁿlnx si x est différent de 0 et f_n(0) = 0

Démontrer que f₁ est continue sur [0,+00[.

D'une part, on a :
- x---- x est continue sur R, en particulier sur [0,+00[.
- x----lnx est continue sur ]0,+00[.
Donc:
x----xlnx est continue sur ]0,+00[ comme produit de deux fonctions. (1)

« ... comme produit de deux fonctions continues sur cet intervalle.»

D'autre part, pour la continuité de f₁ en 0, on a:
f₁(x)=xlnx et f_n(0) = 0

x appartient Df₁ ; f₁(x) existe
f_n(0) = 0 ; 0 apartient à Df₁
D'où: Df₁=[0,+00[.

À quoi cela sert-il ?

0 apartient à Df₁
lim de f₁ = xlnx quand x tend vers 0 est 0 = f(0) (2)

De (1) à (2) on peut en déduire que f₁ est continue sur [0,+00[.

D'accord.

On nous demande aussi que si f₁ est dérivable en 0.

Pour démontrer que f est dérivable en 0, il faut que lim_x---0 (f₁(x) - f₁(0)) / x = f'₁(0)

Non, il faut montrer que existe.

Or j'ai trouvé que f'₁ (0) = -00
Car: f₁(x) = xlnx f'₁lnx + 1
Or: lim _x---0 de f'₁ = -00

Et alors ? La fonction définie sur par est dérivable sur comme produit/composée de fonctions dérivables sur cet intervalle et on a , pour . La fonction est aussi dérivable en 0 car ... et pourtant l'on a .

Le fait que ne permet en général pas d'affirmer que n'est pas dérivable en 0.