Dérivation

[invite2f6def43]

Bonsoir.

J'ai un petit probleme pour une DM, ou je bloque a quelques questions.

La premiere est :
Soit f(x)=xracine(x(2-x)) ( ou f(x)= xracine(2x-x²) )

Prouvez qu'elle est dérivable sur ]0;2[

J'ai essayé en calculant la limite quand h->0 de f(x+h)-f(x) / h
mais je bloque a un certain moment.

je met le detail du calcul :

f(x+h)-f(x) / h
= (x+h)racine((x+h)(2-(x+h))) - xracine(x(2-x)) / h
= (x+h)racine(2x-x²-xh+2h-hx-h²) - xracine(x(2-x)) / h

et voila je bloque
j'ai essayé de mettre h en facteur mais je n'y arrive pas.

voila.

( je mettrai les autres au fur et a mesure que j'aurai compris la precedente.... )
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[invite44d70ebf]

Salut,
Ta fonction est la composée de 2 fonctions dérivables ]0;2[. Elle est donc dérivable sur ]0;2[.

L.

[invitea3edf3aa]

bonjour
On a un produit de deux fonctions dérivables donc la fonction est dérivable : (uv)' = u'v + uv'
f(x) = x√(2x-x²)
f '(x) = √(2x -x²) + x(1-x)/√(2x-x²)
=((2x - x²) +x - x²)/√(2x-x²)

=(3x-2x²)/√(2x-x²)

[Flyingsquirrel]

Ta fonction est la composée de 2 fonctions dérivables ]0;2[. Elle est donc dérivable sur ]0;2[.

En l'occurrence c'est vrai mais ça ne fonctionne pas toujours. Les fonctions et définies sur sont toutes deux dérivables sur cet intervalle et pourtant n'est pas dérivable sur car elle n'est pas dérivable en .

Pour prouver la dérivabilité sur un intervalle d'une fonction composée , il suffit de montrer que est dérivable sur et que est dérivable sur « l'ensemble d'arrivée » de .

Je reprends mon exemple : pour pris dans on a qui est compris entre et (car est croissante) donc l'ensemble d'arrivée de la fonction est . Or la fonction racine carrée n'est pas dérivable sur , on est donc coincé, on ne peut pas conclure que est dérivable sur cet intervalle.

Pour en revenir à la question de mokha, pour prouver que est dérivable sur il faudrait dire que l'est et que la fonction racine carrée est dérivable sur donc qu'elle est a fortiori dérivable sur l'ensemble d'arrivée de qui est .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2f6def43]

Ah d'accord.... je ne connaissait pas cette méthode.

Merci pour votre aide ! en tout cas
Je vais réfléchir a tout ça, et je verrai si je réussis a finir mon exercice.
a+

[invite44d70ebf]

En l'occurrence c'est vrai mais ça ne fonctionne pas toujours. Les fonctions et définies sur sont toutes deux dérivables sur cet intervalle et pourtant n'est pas dérivable sur car elle n'est pas dérivable en .

Pour prouver la dérivabilité sur un intervalle d'une fonction composée , il suffit de montrer que est dérivable sur et que est dérivable sur « l'ensemble d'arrivée » de .

Je reprends mon exemple : pour pris dans on a qui est compris entre et (car est croissante) donc l'ensemble d'arrivée de la fonction est . Or la fonction racine carrée n'est pas dérivable sur , on est donc coincé, on ne peut pas conclure que est dérivable sur cet intervalle.

Pour en revenir à la question de mokha, pour prouver que est dérivable sur il faudrait dire que l'est et que la fonction racine carrée est dérivable sur donc qu'elle est a fortiori dérivable sur l'ensemble d'arrivée de qui est .

Bonsoir,
Tu as totalement raison. J'ai tendance à prendre des raccourcis foireux.lol.

L.