Problème d'applications

[invite7b7a7769]

Yop tout le monde ! Voilou, je bloque sur un exo de mon DM (qui est pour demain !) et j'aimerais juste une piste de réflexion s'il vous plait, ça serait hyper sympatoche
Déterminer l'ensemble des applications f définies sur R et vérifiant :
f(x) + f(x- [x]) = 0 où [x] désigne la partie entière du réel x.
Merci d'avance
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[invite890931c6]

Quelques propriétés pour appréhender la bête :

pour on peut déterminer f(0)

pour on peut connaitre explicitement f(x).


ça peut te guider un peu

[invite7b7a7769]

Merci de m'avoir rép ! J'ai fait ce que tu as ecrit mais qd on me demande de determiner l'ensemble des applications de f, est-ce que je dois ecrire une fonction qui répond a la condition ? Du genre f(x) = cos (x) ? ou pas ?

[invite890931c6]

oui, tes solutions sont des fonctions qui remplissent les conditions. (bon il y a une nuance dans le terme "application", mais je ne crois pas que ce soit déterminant...) j'ajoute comme information pour

f(x) = 0

et je complète celle que j'ai donné avant pour tout x relatif f(x) = 0.

J'ai pas une grande expérience en équation fonctionnelle il faudrait qu'un mentor confirme mes dires.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite890931c6]

Encore une fois avec beaucoup de reserve... mais je pense que ceci est intéressant :

en regardant ce qui se passe pour x +1 :


or

donc



et comme

on en déduit que

il semblerait donc que f soit périodique... Mais je ne sais pas si mon raisonnement est valide. On pourrait aussi montrer que f est impaire.

[invite7b7a7769]

Merci beaucoup ! C'est ce que j'étais en train de faire justement ^^

[invite890931c6]

Up ! parceque les équations fonctionnelles m'intéressent beaucoup (malheureusement dans mon lycée on en fait pas) et j'aimerais savoir si le raisonnement que j'ai développé (#5) est correcte ou le cas échéant quel serai la méthode. Merci

[invite652ff6ae]

Up ! Parce que ça m'intéresse aussi !

[invite890931c6]

On semble ne pas apprécier les équations fonctionnelles ici je demande à mon prof de maths demain, je te tiens au courant

[Flyingsquirrel]

il semblerait donc que f soit périodique...

Tu as même montré que est 1-périodique. Comme on sait également que est nulle sur on peut en déduire ce que vaut , pour ...

[invite890931c6]

ouais c'est l'application nulle. Mais je voulais savoir si mon raisonnement était juste. Puis trouver l'application nulle pour la première équation fonctionnelle que je résous je trouvais ça nulle

Merci de ta réponse en tout cas.

[invite652ff6ae]

Je ne vois pas d'erreurs dans ton raisonnement, mais je ne suis pas un expert (loin de là ) => à confirmer.

Par ailleurs jolie solution