Système de numération (terminale s)

[invitef14d40c7]

Bonjour, j'ai un Dm ou il est question de faire la table d’addition et la table de multiplication de la base 2.
A priori, le tableau d'addition sera ainsi mais ça parait trop simple pour être juste.

+ 0 1
0 0 1
1 1 10

Par ailleurs, pour montrer que le développement de l'entier x suivant les puissances de a est unique je suis censée démontrer que l'application associant (X0,X1...XN) a la somme de k=0 jusqu'à N de Xk*a^k est une bijection ( Xka^k=(x indice k) *( a puissance k); j'ai longuement remué mes méninges mais ça n'a rien donné donc si vous pouvez éclairer ma lanterne je vous en serais reconnaissante
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[inviteec9de84d]

Salut,

Bonjour, j'ai un Dm ou il est question de faire la table d’addition et la table de multiplication de la base 2.
A priori, le tableau d'addition sera ainsi mais ça parait trop simple pour être juste.

+ 0 1
0 0 1
1 1 10

Le 10 me gêne....La table d'addition (ou loi + du groupe à 2 éléments) s'exprimerait plus par :


Le fait que lorsque tu comptes en binaire,1+1=10 (1+1 vaut bien évidemment toujours 2!) est dû à la retenue (1+1=0 et tu ajoutes une retenue, comme en base 10 : 9+1=0 et tu colles la retenue !).

Pour la loi multiplier :

Par ailleurs, pour montrer que le développement de l'entier x suivant les puissances de a est unique je suis censée démontrer que l'application associant (X0,X1...XN) a la somme de k=0 jusqu'à N de Xk*a^k est une bijection ( Xka^k=(x indice k) *( a puissance k); j'ai longuement remué mes méninges mais ça n'a rien donné donc si vous pouvez éclairer ma lanterne je vous en serais reconnaissante

Sais-tu exactement ce qu'est une bijection ?

[invitef14d40c7]

Salut,

Le 10 me gêne....La table d'addition (ou loi + du groupe à 2 éléments) s'exprimerait plus par :


Le fait que lorsque tu comptes en binaire,1+1=10 (1+1 vaut bien évidemment toujours 2!) est dû à la retenue (1+1=0 et tu ajoutes une retenue, comme en base 10 : 9+1=0 et tu colles la retenue !).

Pour la loi multiplier :




Sais-tu exactement ce qu'est une bijection ?

Ben oui! j'ai réussi à montrer qu'il est injectif mais je vois pas cmt jpourrais montrer la surjectivité

[inviteec9de84d]

Je suppose que f est la décomposition d'un entier x en base a ?

Tu as déjà montré que f est injective.
Montrons qu'elle est surjective, càd


ou plus simplement, que est bien un entier .
a étant la base numérique, a est entier. L'ensemble des entiers formant un corps, les puissances de a sont des entiers et en les multipliant et additionnant avec d'autres entiers, tout ça reste entier.
Donc c'est ok.
(c'était couru d'avance.......le plus dur c'était de trouver une fonction f injective, ce qui signifie qu'une décomposition n'a qu'un antécédent, s'il existe).

P.S. : je n'ai traité que le cas des entiers naturels, mais si besoin l'extension aux relatifs ne doit pas être super différente.

[A voir en vidéo sur Futura]