[TS] Suites, démonstration très ardue

**mx6** · 04/02/2009, 22h37

Bonsoir,
Cela fait 1 heure que je tente de répondre à une question, voici l'énoncé modifié par moi, pour aller droit au but

On note $\text{[math]}$ la suite définie par $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ .
Données (Cela constitue les réponses aux questions précédentes avant celle ou je bloque)
La fonction $\text{[math]}$ représentative de $\text{[math]}$ est décroissante dans $\text{[math]}$ .
Pour tout $\text{[math]}$ entier naturel : $\text{[math]}$

Voici la fameuse question :
Montrer que :

$\text{[math]}$

Et comme indication c'est écrit à coté : (On rappelle que $\text{[math]}$

Veuillez me donner la solution s'il vous plait ! Je pense que c'est un exercice niveau prépas ! J'ai déjà lu un truc comme ca sur un bouquin de prépas k liptzichien un truc comme ca

**lapin savant** · 04/02/2009, 23h22

Salut,
$\text{[math]}$
donc

$\text{[math]}$
ok ?
Ensuite tu majores $\text{[math]}$ grâce à l'inégalité triangulaire.

**mx6** · 04/02/2009, 23h26

Tu peux continuer ? Je ne vois toujours pas, car tu verras y a un problème après!

**lapin savant** · 04/02/2009, 23h27

Indication :
$\text{[math]}$

après l'inégalité triangulaire,
il faut se servir une nouvelle fois de l'encadrement de $\text{[math]}$ ...

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**mx6** · 04/02/2009, 23h29

Ok merci, je verrais ça de plus près demain soir ! Car là c'est l'heure d'aller au lit ^^

**lapin savant** · 04/02/2009, 23h42

En effet, il traine un terme résiduel dont je n'arrive pas à me débarrasser (spoil si tu veux pas voir

) :

Cliquez pour afficher

bref, voilà une éventuelle piste !

invitec56065da · 04/02/2009, 23h56

salut,
j'ai fait ca aussi mais que faire avec ce terme qui reste ?
à+

**lapin savant** · 05/02/2009, 09h29

Envoyé par pc..maths

salut,
j'ai fait ca aussi mais que faire avec ce terme qui reste ?
à+

A mon avis la majoration que j'ai donnée est trop brutale : le terme résiduel étant >0, on a :
$\text{[math]}$

il faut donc majorer plus finement afin de tomber sur le membre de gauche. Et c'est là tout le problème !

**mx6** · 05/02/2009, 12h20

lapin savant, j'avais déja essayé ce que tu proposes ! Et oui c'est ce terme qui est positif qui pose vraiment problème ! Je crois qu'il y a une astuce assez particulière à mettre en oeuvre ! J'attend l'avis de God's Breath si par chance il tombe sur ce topic !

inviteae7fd42d · 05/02/2009, 15h08

Bonjour,

j'ai l'impression que l'inegalite qu'on te demande de prouver est fausse...
J'ai fait un petit programme pour calculer les termes de la suite, des le troisieme terme (ainsi que pour les termes suivants) ton inegalite n'est plus verifiee.
En effet je trouve u3=1.3431 et u2=0.5032
et ainsi $\text{[math]}$

Je ne pense pas m'etre trompe, mais cela expliquerait peut etre pourquoi vous n'arrivez pas a resoudre ce probleme..

**mx6** · 05/02/2009, 17h21

Je ne sais pas si c'est exact ce que tu dis, car je ne sais pas comment vérifié à l'aide d'un programme ! Mais en tout cas, je trouve que c'est cohérent l'inégalité pour prouver que la limite de la suite est 1 !

**Flyingsquirrel** · 05/02/2009, 19h48

Envoyé par mx6

Je ne sais pas si c'est exact ce que tu dis, car je ne sais pas comment vérifié à l'aide d'un programme !

Tu peux toujours calculer $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ en utilisant ta calculatrice. Rien ne t'oblige à écrire un programme.

**mx6** · 05/02/2009, 20h24

Certes, mais normalement, ca doit marcher vu que la limite c'est 1 !!

**God's Breath** · 06/02/2009, 18h24

On m'appelle ??

Envoyé par mx6

Certes, mais normalement, ca doit marcher vu que la limite c'est 1 !!

L'argument ne me paraît vraiment pas convaincant, je dirais même qu'il est faux...

On part de $\text{[math]}$ , donc $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Sur l'intervalle $\text{[math]}$ , on a $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ est croissante : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (car $\text{[math]}$ ).

Le théorème des accroissements finis assure l'existence d'une suite $\text{[math]}$ , avec $\text{[math]}$ compris entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , donc dans $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ .

Par suite $\text{[math]}$ d'où l'on déduit $\text{[math]}$ .

Comme $\text{[math]}$ , la suite $\text{[math]}$ converge, de limite 1.

Par encadrement la suite $\text{[math]}$ est également convergente de limite 1, et la suite $\text{[math]}$ converge, de limite $\text{[math]}$ .

Or $\text{[math]}$ (de très peu...) et l'inégalité $\text{[math]}$ est fausse à partir d'un certain rang.

**mx6** · 06/02/2009, 22h01

Bonsoir,
Je n'ai jamais étudié le théorème des accroissements finis en suites (en fonction je sais ce que c'est), mais je prend votre démonstration comme argument d'autorité.

**God's Breath** · 06/02/2009, 22h15

Envoyé par mx6

Bonsoir,
Je n'ai jamais étudié le théorème des accroissements finis en suites (en fonction je sais ce que c'est), mais je prend votre démonstration comme argument d'autorité.

J'utilise les accroissements finis pour la fonction $\text{[math]}$ entre $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ ; le théorème ne vaut pas pour les suites.

En TS, on peut comprendre l'incompatibilité entre :

1. Si l'on a, pour tout $\text{[math]}$ , $\text{[math]}$ , alors $\text{[math]}$ , et la suite $\text{[math]}$ converge de limite 1.

2. Si la suite $\text{[math]}$ converge de limite 1, alors $\text{[math]}$ , et pour $\text{[math]}$ assez grand, on aura $\text{[math]}$ .

**mx6** · 07/02/2009, 12h43

Merci, j'avais jamais vu les suites de ce coté ! Encore merci

**stross** · 08/02/2009, 00h31

l'inégalité des accroisements finis aurait pu marcher je pense ici ^^.

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