suites besoin d'aide

[invite2c80e02a]

Bonsoir est ce que pouvez vous m'aidez pour mon exo stp? Merci.

Pour tout entier n, on définit la suite (Gn) par
Gn= (Ø +1/Ø +2) x Øn + ( 1 / Ø +2) x (1-Ø)n, où est le nombre défini par Ø=(1+√5)/2


a) démontrer par le calcul que Ø 2= Ø + 1 et 1/ Ø = Ø - 1.
b) Démontrer par le calcul que, pour n appartient à {0,1,2,3}, on a Gn=Fn.
c) A l’aide de la calculatrice, vérifier que les quinze premiers termes (Gn) de la suite coïncident avec ceux de la suite (Fn).
d) En admettant que les deux suites (Fn) et (Gn) générait les mêmes nombres, quel est l’intérêt de la suite (Gn) notamment pour calculer F50 ?
En donner une valeur exacte ou approchée.


Je n'arrive pas à le faire. J'ai besoin de votre aide svp?
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[lapin savant]

Salut,
as-tu fait des questions ? Qu'est-ce qui te bloque ? (le but n'est pas que quelqu'un d'autre te fasse ton exercice).

P.S. au cas où tu ne l'aurais pas remarqué, la suite est définie à l'aide du célèbre nombre d'or

[lapin savant]

Ah oui tant que j'y suis, dans l'exo tu n'as pas défini la suite Fn...


edit : allez je parie sur la suite de Fibonacci
F(n+2) = F(n+1)+Fn et F0=F1=1

[invite2c80e02a]

(F) est définie par: 1,1,2,3,5,...

Il n'y a aucun question que j'ai réussi à faire. Je ne veux pas que quelqu'un le fasse à ma place. Je veux juste que quelqu'un m'aide. On n'a pas vu beaucoup de choses sur les suites, donc pour l'instant je ne comprends pas trop ce chapitre. En fait, je ne comprends pas du tout l'exercice pour le faire.

Quelqu'un peut-il m'aider svp? Merci.

[A voir en vidéo sur Futura]

[lapin savant]

(F) est définie par: 1,1,2,3,5,...

C'est bien ce que je pensais, Fibonacci.
Avant de t'aider, je vais t'introduire le pourquoi du comment de cet exercice :
la (célèbre) suite de Fibonacci est définie par récurrence, le terme au rang n étant égal à la somme des 2 termes précédents.

et

En regardant les premiers termes, on obtient la suite que tu viens de me donner : 1,1,2,5,7,13...


Dans cet exercice, on te propose de regarder les termes de la suite définie par


où est le nombre d'or (célèbre aussi).

En fait, tu dois au bout de l'exercice trouver une correspondance entre Fn et Gn : Fn = Gn pour tout n.
Car Gn est le résultat trouvé lorsque l'on cherche à exprimer Fn en fonction de n (le calcul n'est pas à ton programme...).

Voilà pour le décor. Maintenant, exercice !

a) Commence par calculer c'est le plus simple. Tu essayes d'arriver à .
Ensuite, pour montrer l'autre égalité, tu utiliseras celle-ci (facile ).

[lapin savant]

Ensuite :
b) facile
c) facile

On discutera de la d) une fois que tout ça sera fait !

[invite2c80e02a]

voici ce que j'ai fait pour la question a)


a) 1/ Ø = (Ø +1/Ø +2) x Øn + ( 1 / Ø +2) x (1-Ø)n
1/ Ø= = (Ø2n +Øn/( Ø+2)) + ( 1 / Ø +2) x (1n-2Ø+ Øn)
1/ Ø= = (Ø3n/( Ø+2)) +(1n/(Ø+2))-(2Ø n/(Ø +2))+(Øn /(Ø +2))


mais je pense que ce n'est pas ça à faire. Pouvez vous m'aider svp? Merci.

[invite6985b48f]

Non, Lapin a dit de calculer Q, pas Qn

Q=(1+V5)/2
Donc 1/Q=2/(1+V5) puis tu continues le calcul (pour simplifier le dénominateur quant il y a des racines, on multiplie par le nombre conjugué, par ex le nombre conjugué de a+Vb est a-Vb)

[invite2c80e02a]

est ce que quelqu'un peut-il m'aider pour la question b) que j'ai pas compris svp? Merci.

[lapin savant]

Tu dois montrer que :
G0 = 1
G1 = 1
G2 = 2
G3 = 3

[invite2c80e02a]

J'ai comme même pas réussi la a) pour trouver1/ Q=Q-1 et Q²=Q+1.

Est ce que tu me m'aider stp? Merci.

[lapin savant]

Ben va falloir revoir le calcul de 2nde...
Allez :


Ensuite tu te sers de ça pour montrer que


(le calcul est simplissime).

[invite2c80e02a]

donc pour Q²= Q²+(-1²)= Q²+1

Mais je ne trouve pas encore ce que je veux.

Est ce que quelqu'un peut-il m'aider svp? Merci.

[lapin savant]

donc pour Q²= Q²+(-1²)= Q²+1

Mais je ne trouve pas encore ce que je veux.

Est ce que quelqu'un peut-il m'aider svp? Merci.

Faux !
Tu ne peux pas développer le carré d'une somme comme dans Pythagore (pas d'orthogonalité). Tu ferais mieux de réviser le programme de calcul algébrique du collège...

[invite2c80e02a]

Et pour la suite comment faut-il que je fasse? Est ce que quelqu'un peut-il m'aider svp? Merci.

[lapin savant]

Tu calcules G0, G1, G2, G3 ! (tu remplaces n par 0,1, 2, puis 3)

[invite2c80e02a]

Pour G0 je trouve 1, G1=4/3, G2=3/2 et G3 j'arrive pas à calculer.

Est ce que quelqu'un peut-il m'aider svp? Merci.

[lapin savant]

Pour G0 je trouve 1, G1=4/3, G2=3/2 et G3 j'arrive pas à calculer.

Est ce que quelqu'un peut-il m'aider svp? Merci.

G0 ok, les autres sont faux : tu dois trouver G1 = 1, G2=2, G3=3.
Mais à mon avis la formule que tu nous a donnée pour Gn est fausse...

Exemple : (avec ta formule)


A revoir.

[invite2c80e02a]

J'ai peut-être que j'ai pas bien mis les paranthèses:

Gn= ((Ø +1)/(Ø +2)) x Øn + ( 1 /( Ø +2)) x (1-Ø)n, où est le nombre défini par Ø=(1+√5)/2

n est un exposant.

Est ce que quelqu'un peut-il m'aider svp? Merci.

[lapin savant]

J'ai peut-être que j'ai pas bien mis les paranthèses

Ben ouais ça change tout....du coup la suite Gn est définie par :


Alors :


Ok !

Calcules moi donc G1. (pense à utiliser les relations montrées en 1.)

[invite2c80e02a]

Ben ouais ça change tout....du coup la suite Gn est définie par :


Alors :


Ok !

Calcules moi donc G1. (pense à utiliser les relations montrées en 1.)

Je ne comprends pas le calcul que tu as fait. Peux tu me reexpliquer stp? Merci.

[lapin savant]

Ben en remplaçant n par 0 (puisqu'on calcule G0), tu obtiens ça...ensuite c'est juste une petite astuce de calcul (1=2-1), pour aller plus vite mais fait comme tu as réussi (tu m'as dit que tu trouvais bien G0=1).

Allez, et G1 alors !

[invite2c80e02a]

Voici ce que j'ai fait pour G1:

G1= ((Ø +1)/(Ø +2)) x Ø1 + ( 1 /( Ø +2)) x (1-Ø)1,
G1= ((2Ø + Ø)/(Ø +2)) + ( (1- Ø) /( Ø +2)),
G1= (3Ø/(Ø +2)) + ( (1- Ø) /( Ø +2)),
G1= ((3Ø+1- Ø) /(Ø +2))
G1= ((2Ø+1) /(Ø +2))
G1= ((Ø+1) /2)

Mais après je n'arrive pas à le faire. Peux tu m'aider stp? Merci.

[lapin savant]

Voici ce que j'ai fait pour G1:

G1= ((Ø +1)/(Ø +2)) x Ø1 + ( 1 /( Ø +2)) x (1-Ø)1,
G1= ((2Ø + Ø)/(Ø +2)) + ( (1- Ø) /( Ø +2)),
G1= (3Ø/(Ø +2)) + ( (1- Ø) /( Ø +2)),
G1= ((3Ø+1- Ø) /(Ø +2))
G1= ((2Ø+1) /(Ø +2))
G1= ((Ø+1) /2)

Mais après je n'arrive pas à le faire. Peux tu m'aider stp? Merci.

La ligne 2 est fausse (attention !

Conseil : soit cohérent dans tes notations, commence par différencier ce qui est en exposant de ce qui est en facteur. ça t'éviteras de te tromper bêtement (c'est dommage tu étais pas trop mal parti ).

[invite2c80e02a]

est ce que tu peut m'aider stp? merci.

[lapin savant]

Boh voilà les calculs parce qu'on va pas y passer la nuit, mais je te conseille très fortement de revoir le calcul du niveau collège, je peux plus rien pour toi à ce niveau...


On a montré que donc tu remplaces :


J'ai détaillé au max pour G1, je vais plus vite pour la suite (à toi de chercher aussi...) :






D'accord, le calcul de G3 était un peu difficile (il est facile de se tromper), mais jusquà G2, tu aurais pu le trouver toi-même (tu n'as même pas besoin de notions sur les suites, c'est du bête calcul niveau collège).

On trouve donc :
G0=F0=1
G1=F1=1
G2=F2=2
G3=F3=3

La suite Gn est égale à la suite Fn (vérifie sur la calculatrice).
L'avantage de Gn est de pouvoir calculer directement des termes de rang élevé (par exemple F50=G50) en prenant une valeur particulière pour n, alors que si l'on avait utilisé Fn (cf post #3 ou 2), il aurait fallu calculer tous les termes de proche en proche (trop long...)


A revoir, donc, et efforce-toi de le refaire, quitte à regarder la solution si tu bloques.
Bonne soirée