Aide étude de fonction

[invite7ecacf03]

Voila l'énoncé de mon exercice :

On considère la fonction f définie sur ]0; +oo[ par :

f(x) = 5ln x - (ln x)²

On note C sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthonormal.

1° a) Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à C
b) déterminer la limite en + oo
2° a) Calculer f'(x)
b) Résoudre 5 - 2ln x = 0 et 5 - 2ln x > 0
En déduire le signe de f'(x) suivant les valeurs de x
3° Donner le tableau complet des variations de f
4° a) Résoudre, dans R, l'équation 5ln x - (ln x)² =0
b) Interpréter graphiquement les solutions obtenues.

Je suis complètement paumé, je ne trouves aucunes pistes pour me lancer dans mon exercice si quelques âmes charitables pourraient me donner quelques indices pour bien démarrer l'exercice se serait géniale.
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[Arkangelsk]

Bonjour,

Je suis complètement paumé, je ne trouves aucunes pistes pour me lancer dans mon exercice si quelques âmes charitables pourraient me donner quelques indices pour bien démarrer l'exercice se serait géniale.

On peut bien t'aider, mais on ne va pas faire tout l'exo à ta place ! Par exemple, le calcul de dérivée n'est qu'une application des formules vues en cours, et ce n'est que du calcul. Si tu as un doute, le plus efficace serait que tu postes ton résultat (et ton calcul, au besoin), afin qu'on puisse te dire s'il est correct ou non.

Pour l'asymptote, de quelle nature est-elle (horizontale, verticale, oblique) ? En conséquence, quel calcul doit-on effectuer pour la déterminer ?

[invite7ecacf03]

Oui j'en suis tout à fait conscient.

Je suis dans le cas d'une asymptote verticale et par conséquent je dois montrer que f(x) admet une limite en a=0 de la forme + ou - l'infinie.

lim 5ln x = -00 et lim -(ln x)²= -00
x -->0+ x-->0+

Par conséquent lim f (x) = - 00
x-->0

Est-ce correct ?

Et pour la limite lorsque x tend vers + l'infini je modifie l'expression de départ et cela me donne

f(x) = ln x ( 5 + ln x)

[invite7ecacf03]

Pour la limite en + l'infini je la trouve égale à moins l'infini et pour la dérivée je trouve 5/x mais je suis vraiment pas sur de moi.

f(x) = ln x ( 5 - ln x) de la forme U*V

U = ln x
U' = 1/x

V= 5 - ln x
V' = -1/x


(1/x)(5 - ln x) - ( ln x)(-1/x) de la forme (U'*V)- (U*V')

Ce qui me donne au finale f '(x) = 5/x

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7ecacf03]

Oh faute d'inattention : (U*V)' = U'V+UV' et pas moins

donc au final pour ma dérivée sa me donne :

(-2ln x + 5)/x

[invitee625533c]

Bonjour,

tes calculs (dérivée et limite en 0) ainsi que ta définition de l'asymptote verticale sont justes.

Quand tu dis:

t pour la limite lorsque x tend vers + l'infini je modifie l'expression de départ et cela me donne
f(x) = ln x ( 5 + ln x)

C'est - bien sûr et non + (tu l'as dis après).

C'est bien d'avoir transformé l'écriture de f(x) afin de trouver la limite de f en ? mais il faut bien rédiger le calcul de cette limite et ne pas la donner brutalement.

[invite7ecacf03]

Oui pour les limites j'ai détaillé tout sa sur ma feuille.

La résolution de mes équations me donne :

Pour 5 - 2 ln x = 0 je trouve x = exp 5/2
Pour 5 - 2 ln x > 0 je trouve x < exp 5/2

j'ai rempli mon tableau de signe de f '(x) et réaliser le tableau complet de variation de f(x).

J'ai résolu l'équation f(x) = 0 en utilisant la forme que j'ai utilisé pour calculer ma limite en plus l'infini ce qui me permet d'interpréter que la fonction coupe 2 fois l'axe des abscisses pour x = 1 et x = e^5 et de plus le maximum est pour x = e^(5/2) je trouve un maximum de 6,25

[invitee625533c]

Bravo !

quand tu parles du maximum, ça n' a rien à voir avec la toute dernière question. On est d'accord ?

[invite7ecacf03]

Oui je parlais de maximum car je dois ensuite tracer la courbe c'est pour sa.