[TS+] Limites et points d'intersection

[invite9a322bed]

Bonjour ,

Voici l'exercice :

Soit une fonction dérivable sur telle que:

(i)

(ii) pour tout réel appartenant à , .

Quel est le nombre de solutions de l'équation ?

Ma réponse :

Cette équation, revient à trouver les points d'intersection entre et .
De plus la dérivé de la fonction identité est 1, donc croit beaucoup plus que la fonction .
Dans d'autre termes, si et se rencontre dans un point, la fonction ne peut pas rattraper car . De plus la fonction est continue sur avec et donc, il y a un seul point d'intersection dans .
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[invite2220c077]

Salut,

Ta solution manque un peu de rigueur à mon sens .

Perso', j'aurai plutôt étudié la fonction , et sauf erreur, je trouve aussi une seule solution, d'après le théorème de la bijection (on dérive, et on applique les hypothèses).

[invite2220c077]

La dérivée de est : par hypothèse, donc est strictement décroissante sur .

Par hypothèse, est dérivable sur , donc est continue sur ce même intervalle.

Ainsi,



et



D'où . Comme est strictement décroissante sur et que , alors le théorème de la bijection nous assure l'existence d'un unique réel vérifiant , c'est-à-dire

[invite2220c077]

Dans le même genre :

Soit une fonction continue et strictement monotone sur et à valeurs dans . Montrer que admet au moins un point fixe sur .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite890931c6]

Dans le même genre :

Soit une fonction continue et strictement monotone sur et à valeurs dans . Montrer que admet au moins un point fixe sur .

application bête du théorème des valeurs intermédiaires ou y a t-il un piège que je n'ai pas vu ?

[Flyingsquirrel]

Soit une fonction continue et strictement monotone...

Pourquoi supposer que la fonction est strictement monotone ?

[invite890931c6]

si elle est strictement monotone elle admet qu'un unique point fixe non ?

[invitec317278e]

oui.


Mx6, ta solution n'est que l'interprétation intuitive, cinématique de ce qui se passe, mais ne constitue pas une réponse convenable.

[Flyingsquirrel]

si elle est strictement monotone elle admet qu'un unique point fixe non ?

Si l'on prend , est strictement monotone et admet beaucoup de points fixes.

[invite9a322bed]

Si l'on prend , est strictement monotone et admet beaucoup de points fixes.

Joli contre exemple

[tuan]

Bonjour ,

Voici l'exercice :

Soit une fonction dérivable sur telle que:

(i)

(ii) pour tout réel appartenant à , .

Quel est le nombre de solutions de l'équation ?

Salut,
Quelqu'un veut-il bien m'expliquer comment f(x) "varie" de 1/2 en x=0 à 1/2 en x=1 tout en étant décroissante (dérivée négative ) ?

[invite9a322bed]

Elle n'est pas strictement négative, mais inférieur à 1, d'après l'énoncé.

[tuan]

Elle n'est pas strictement négative, mais inférieur à 1, d'après l'énoncé.

Ah oui, bien sûr... je devrais aller au lit.

[invite9a322bed]

Oui moi aussi
J'attend toujours la démonstration pour l'histoire de triangle équilatéral avec z, z² ect...
Car j'ai un projet sur pdf

[tuan]

Oui moi aussi
J'attend toujours la démonstration pour l'histoire de triangle équilatéral avec z, z² ect...
Car j'ai un projet sur pdf

A mx6 : Comment ? mon explication avec figure jointe ne suffisait pas ? pose des questions explicites.
Aux autres : excusez-nous pour le hors-sujet

[invite9a322bed]

Comment t'as démontre que pour , il n'y a pas de solutions ?
Sachant que , comment t'as trouvé l'angle de , intuitivement, ou avec des calculs ?

[tuan]

Comment t'as démontre que pour , il n'y a pas de solutions ?
Sachant que , comment t'as trouvé l'angle de , intuitivement, ou avec des calculs ?

Ne faut-il pas retourner au bon fil ?
On démontre d'abord que le triangle est au moins isocèle.
Le triangle isocèle exige que module(z)= module(z³) donc =1
(t pour thêta...)
z = r exp(i.t)
z² = r² exp(i.(t+t))
z³ = r³ exp(i.(t+t+t))
Observe bien l'argument de chacun...