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[TS+] Limites et points d'intersection



  1. #1
    mx6

    [TS+] Limites et points d'intersection


    ------

    Bonjour ,

    Voici l'exercice :

    Soit une fonction dérivable sur telle que:

    (i)

    (ii) pour tout réel appartenant à , .

    Quel est le nombre de solutions de l'équation ?

    Ma réponse :


    Cette équation, revient à trouver les points d'intersection entre et .
    De plus la dérivé de la fonction identité est 1, donc croit beaucoup plus que la fonction .
    Dans d'autre termes, si et se rencontre dans un point, la fonction ne peut pas rattraper car . De plus la fonction est continue sur avec et donc, il y a un seul point d'intersection dans .

    -----

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  4. #2
    -Zweig-

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    Salut,

    Ta solution manque un peu de rigueur à mon sens .

    Perso', j'aurai plutôt étudié la fonction , et sauf erreur, je trouve aussi une seule solution, d'après le théorème de la bijection (on dérive, et on applique les hypothèses).
    Dernière modification par -Zweig- ; 30/03/2009 à 12h04.

  5. #3
    -Zweig-

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    La dérivée de est : par hypothèse, donc est strictement décroissante sur .

    Par hypothèse, est dérivable sur , donc est continue sur ce même intervalle.

    Ainsi,



    et



    D'où . Comme est strictement décroissante sur et que , alors le théorème de la bijection nous assure l'existence d'un unique réel vérifiant , c'est-à-dire

  6. #4
    -Zweig-

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    Dans le même genre :

    Soit une fonction continue et strictement monotone sur et à valeurs dans . Montrer que admet au moins un point fixe sur .
    Dernière modification par -Zweig- ; 30/03/2009 à 18h29.

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #5
    VegeTal

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Dans le même genre :

    Soit une fonction continue et strictement monotone sur et à valeurs dans . Montrer que admet au moins un point fixe sur .
    application bête du théorème des valeurs intermédiaires ou y a t-il un piège que je n'ai pas vu ?
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  9. #6
    Flyingsquirrel

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    Citation Envoyé par -Zweig- Voir le message
    Soit une fonction continue et strictement monotone...
    Pourquoi supposer que la fonction est strictement monotone ?

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  11. #7
    VegeTal

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    si elle est strictement monotone elle admet qu'un unique point fixe non ?
    "There is no cure for curiosity." Entre -π/2 et π/2...

  12. #8
    Thorin

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    oui.


    Mx6, ta solution n'est que l'interprétation intuitive, cinématique de ce qui se passe, mais ne constitue pas une réponse convenable.
    École d'ingénieurs + M1 Physique Fondamentale

  13. #9
    Flyingsquirrel

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    Citation Envoyé par VegeTal Voir le message
    si elle est strictement monotone elle admet qu'un unique point fixe non ?
    Si l'on prend , est strictement monotone et admet beaucoup de points fixes.

  14. #10
    mx6

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    Citation Envoyé par Flyingsquirrel Voir le message
    Si l'on prend , est strictement monotone et admet beaucoup de points fixes.
    Joli contre exemple

  15. #11
    tuan

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Bonjour ,

    Voici l'exercice :

    Soit une fonction dérivable sur telle que:

    (i)

    (ii) pour tout réel appartenant à , .

    Quel est le nombre de solutions de l'équation ?
    Salut,
    Quelqu'un veut-il bien m'expliquer comment f(x) "varie" de 1/2 en x=0 à 1/2 en x=1 tout en étant décroissante (dérivée négative ) ?

  16. #12
    mx6

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    Elle n'est pas strictement négative, mais inférieur à 1, d'après l'énoncé.

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  18. #13
    tuan

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Elle n'est pas strictement négative, mais inférieur à 1, d'après l'énoncé.
    Ah oui, bien sûr... je devrais aller au lit.

  19. #14
    mx6

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    Oui moi aussi
    J'attend toujours la démonstration pour l'histoire de triangle équilatéral avec z, z² ect...
    Car j'ai un projet sur pdf

  20. #15
    tuan

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Oui moi aussi
    J'attend toujours la démonstration pour l'histoire de triangle équilatéral avec z, z² ect...
    Car j'ai un projet sur pdf
    A mx6 : Comment ? mon explication avec figure jointe ne suffisait pas ? pose des questions explicites.
    Aux autres : excusez-nous pour le hors-sujet

  21. #16
    mx6

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    Comment t'as démontre que pour , il n'y a pas de solutions ?
    Sachant que , comment t'as trouvé l'angle de , intuitivement, ou avec des calculs ?

  22. #17
    tuan

    Re : [TS+] Limites et points d'intersection

    Citation Envoyé par mx6 Voir le message
    Comment t'as démontre que pour , il n'y a pas de solutions ?
    Sachant que , comment t'as trouvé l'angle de , intuitivement, ou avec des calculs ?
    Ne faut-il pas retourner au bon fil ?
    On démontre d'abord que le triangle est au moins isocèle.
    Le triangle isocèle exige que module(z)= module(z3) donc =1
    (t pour thêta...)
    z = r exp(i.t)
    z2 = r2 exp(i.(t+t))
    z3 = r3 exp(i.(t+t+t))
    Observe bien l'argument de chacun...

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