Congruence.

[invitee2278b63]

Bonjour,
pouvez-vous m'aider ?

Un nombre entier naturel N s'écrit abcca dans le système à base 5 et bbab dans le sytème à base 8, où a,b et c sont des entiers naturels tels que :
0<a<5, 0<b<5, 0< ou égal à c < 5.
1/ Montrer que 309a+15c=226b.
2/ Montrer que b = 0 (mod 3). En déduire b.
3/ Montrer que 3a = 1 (mod 5). En déduire a et c.
4/ Ecrire N dans le système décimal.

Pour le 1/:
abcca en base 5 donne a+5c+25c+125b+625a=626a+125b+3 0c
bbab en base 8 donne b+8a+64b+512b=8a+577b
L'égalité entre les deux donne après simplification
618a+30c=452b
soit, après division par 2, 309a+15c=226b

Pour le 2/ :
309 et 15 sont des multiples de 3, 226 ne l'est pas, donc b l'est => b=0 mod(3)
Comme 0<b<5, on n'a que la possibilité b=3.

Pour le 3/ :
puisque l'on sait que b= 0(mod 3) et que b=3
on ne peut pas dire que l'on a :
309a+15c= 3*226
103a+5c=226 ?

pour le 4/ je ne sais pas

merci d'avance.
-----

[Flyingsquirrel]

Salut,

Pour le 3/ :
puisque l'on sait que b= 0(mod 3) et que b=3
on ne peut pas dire que l'on a :
309a+15c= 3*226
103a+5c=226 ?

Oui, on peut. Que vaut donc ?

pour le 4/ je ne sais pas

Une fois que tu connais , et il suffit d'utiliser une des deux expressions données dans la réponse à la première question (par exemple ).