DM Applications du produit scalaire

[invitebc6fa92d]

Bonjour, je suis en 1ère S. Les vacances se terminent et j'ai un DM de maths à rendre pour lundi. Je l'ai commencé mais quelques questions me posent problème. Voici l'énoncé :
ABCD est un rectangle de centre O.

A/Montrer que pour tout point M du plan on a:
MA²+MC²=MB²+MD²
(c'est fait)

B/ Construire le rectangle ABCD avec AB =6 cm et AD = 3cm. (c'est fait !)

1)Déterminer les valeurs exactes du sinus et cosinus de l'angle ACB. (c'est fait)

2)Construire les deux points du plan qui satisfont MA=5cm et MC=3cm. On appelle M1 celui qui est à l'extérieur du rectangle et M2 celui qui est à l'intérieur. (c'est fait)

Déterminer la valeur exacte de OM1 et justifier que OM1=OM2. (pas fait : je bloque à partir de cette question)

3)Déterminer les valeurs exactes de cos OCM1 et sin OCM1. (pas fait)

4)En utilisant les formules d'addition du cosinus, en déduire la valeur exacte de cos BCM1, puis les distances BM1 et DM1. (pas fait)

5)Déterminer de façon similaire cos BCM1, et les distances BM2 et DM2. ( je pense que je me débrouillerai après avoir résolu la 4)

En attendant, je vous donne les réponses que j'ai obtenues aux questions précédentes. Si vous trouvez quelque chose de faux, n'hésitez pas à m'en faire part !

Alors, A. MA² + MC² = MA.MA + MC.MC = (MB+BA).(MB+BA) + (MD+DC).(MD+DC)
MA² + MC² = MB² + 2MB.BA + BA² + MD² + 2MD.DC + DC²
MA² + MC² = MB² + MD² + BA² + DC² + 2 (MB.BA - MD.CD)
Or, BA² = DC² car ABCD est un rectangle, donc AB = DC et BA = CD.
Donc : 2 (MB.BA - MD.CD) = 2 (MB.BA - MD.BA)
MA² + MC² = MB² + MD² + BA² + AB² + 2 (MB.BA - MD.BA)
= MB² + MD² + 2BA² + 2BA.(MB - MD)
= MB² + MD² + 2BA² + 2BA.DB
= MB² + MD² + 2BA² + 2BA.(DA+AB)
= MB² + MD² + 2BA² + 2BA.DA + 2BA.AB
Or, BA perpendiculaire à DA, donc BA.DA = O.
MA² + MC² = MB² + MD² + 2BA² + O - 2BA.BA
= MB² + MD² + 2BA² - 2BA²
= MB² + MD²

C'est un peu long je vous l'accorde, mais au moins c'est fait.

B. /
1) D'après le théorème de Pythagore, j'ai trouvé que AC = 3 racine de 5.
avec les formules de trigo : sin ACB = (2racine de 5) / 5 et cos ACB = (racine de 5) / 5.

Merci de m'aider pour la suite . . . ( questions 2, 3 et 4, la dernière je peux m'en débrouiller puisque c'est similaire à la 4, enfin dès que j'aurai résolu la 4 !!!)

En espérant que quelqu'un ait la gentillesse et la patience de me venir en aide ! Merci d'avance ...
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[invitea84d96f1]

...
Déterminer la valeur exacte de OM1 et justifier que OM1=OM2. (pas fait : je bloque à partir de cette question)

3)Déterminer les valeurs exactes de cos OCM1 et sin OCM1. (pas fait)

Salut,
Il faut exploiter cette formule dans un triangle quelconque:
a² = b² +c² -2bc. cos(A)
avec a,b,c longueurs des 3 côtés et A angle entre les côtés b et c

- tu calculeras l'angle ACM₁ par cette formule, puis
- tu calculeras le côté OM₁, tjrs par cette formule
- la figure AM₁C est symétrique à la figure AM₂C (par construction). D'où OM₁=OM₂, OCM₁ = OCM₂

[invitebc6fa92d]

Bonjour tuan, tout d'abord, merci de m'accorder du temps.
Depuis, j'ai avancé, voici ce que j'ai trouvé (pouvez-vous vérifier et m'aider pour la dernière question, si ce ne serait trop vous demander ?) :

pour la 2) : Pour calculer OM1, je calcule le cosinus de l'angle ACM1 dans le triangle ACM1 et dans le triangle OCM1.

cos ACM1 = (CM1² + AC² - AM1²)/(2.CM1.AC) = (CM1² + OC² - OM1²)/(2.CM1.0C). (formule avec cosinus)

Dans ces deux expressions, tout est connu, sauf OM1. Tous calculs faits, je trouve

OM1 = 2,3979 = (V23)/2 en valeur exacte

3) J'ai aussi calculé cos OCM1 ( = cos ACM1); je trouve (29V5) / 90.
pour sin OCM1, j'utilise la formule sin² + cos² = 1 et je trouve :
racine de (779/1620).

4) je choisis d'appliquer :
cos (a+b) = cosa.cosb - sina.sinb
je décompose l'angle BCM1 qui est l'angle ACB que j'ai calculé auparavant (question 1) + l'angle OCM1 que j'ai aussi calculé.
cos ACB + cos OCM1 = cos ACB X cos OCM1 - sin ACB X sin OCM1
= (V5 / 5) X (29V5 / 90) - (2V5 / 5) X racine de (779 / 1620)
cos BCM1 = - 0,29

pour trouver la distance BM1, j'ai utilisé la formule :
c² = a² + b² - 2 ab X cos C
j'ai trouvé : V23,22 soit environ 4,82 ça coïncide sur ma figure en mesurant avec la règle.

pour DM1, je ne sais pas comment faire, je pense qu'il faut que j'utilise le triangle CDM1, mais comment ?
ou alors, dites moi si c'est bon, j'utilise une formule d'addition :
comme cos DCM1 c'est cos BCM1 - cos BCD = O (angle droit).
je trouve cos DCM1 et j'applique la même formule qu'avant :
c² = a² + b² .... mais le problème c'est qu'il me manque sin BCM1, alors je pense que ce n'est pas bon ce que je fait !

pour la 5) , je ne sais pas du tout comment faire !
je pense qu'il faut utiliser le triangle BCM2 mais je n'y arrive pas du tout !!

Merci d'avance.

[invitea84d96f1]

- Je n'ai pas vérifié tes calculs mais les démarches sont correctes.
- Oui, c'est une bonne manière de vérifier ses calculs en mesurant directement sur le "bon" dessin, histoire de ne pas se tromper énormément.

Connaissant cos BCM1 = - 0,29 tu peux calculer son sinus et déduire le cosinus du petit angle au dessus en C (M₁CD) (2 angles dont la différence vaut +pi/2)
Le reste est du gâteau. Non ?
Bonne chance pour les études.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea84d96f1]

...
comme cos DCM1 c'est cos BCM1 - cos BCD = O (angle droit).
...

Attention, il y a une petite erreur en écriture là... mais je comprends ton idée.

[invitebc6fa92d]

oui je voulais dire cos BCD = 0.
Par contre comment procédez-vous pour la question 5, dans le triangle BCM2, pour trouver cos BCM2, en utilisant une formule d'addition. Je dois être fatiguée parce que je ne vois pas comment faire !
Désolé je viens de m'apercevoir que dans la rédaction de la question 5), je me suis trompée : il s'agit de calculer cos BCM2 et non cos BCM1 déja calculé ! et après d'en déduire les distances BM2 et DM2.

[invitea84d96f1]

oui je voulais dire cos BCD = 0.
Par contre comment procédez-vous pour la question 5, dans le triangle BCM2, pour trouver cos BCM2, en utilisant une formule d'addition. Je dois être fatiguée parce que je ne vois pas comment faire !
Désolé je viens de m'apercevoir que dans la rédaction de la question 5), je me suis trompée : il s'agit de calculer cos BCM2 et non cos BCM1 déja calculé ! et après d'en déduire les distances BM2 et DM2.

???
M₂ est le point intérieur, on est d'accord ?
BCM₂ est la différence de 2 angles dont tu connais le cos et le sinus (ne pas oublier que cos²+sin²=1 !!!)

[invitebc6fa92d]

Ah oui, je suis bête !
c'est bon, j'ai vu ce qu'il fallait faire.
(ACB - ACM2)
En fait, ce qui m'avait bloqué, c'est que j'avais oublié que je connaissais AM2. Donc pour moi, je ne pouvais pscalculer l'angle
ACM2, mais maintenant tout est réglé.
Merci beaucoup pour l'aide que vous m'avez apporté.

[invitea84d96f1]

Il faut toujours faire un dessin en géométrie et y noter proprement au fur et à mesure les éléments donnés et connus...
A bientôt.