1°S : limite fonction dure

[invite73a6bca2]

Bonjour à tous !

J'ai un dm à faire, concernant les limites d'un fonction etc...
Les questions sont faciles, mais la fonction étudiée est complexe

Définie sur R : f(x)= (xcube + 3x²+5x+5)/(x+1)²


Comme vous vous en doutez, c'est le dénominateur qui me pose problème...

1) Déterminer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de def :

Je trouve que c'est une forme indéterminée. Je factorise par le terme dominant, x cube.

Voila ce que je trouve ; xcube ( 1+3/x+5/x²+5/xcube) / xcube (1/x+2/x²+1/xcube)

En + infinit ou - infinit, je trouve que la limite de tout ça donne 1. EN effet, il me reste 1 au numérateur, et rien du tout au dénominateur; je crois que quand tout se "barre" au dénominateur, ça fait 1.

J'obtient donc 1/1 soit 1. est-ce bon ?

2) Y a-t-il des asymptotes horizontales ou verticales ?

Si ma 1) est juste, je dis qu'il y a une asymptote d'équation y=1, qui est verticale. Pas d'horizontale.

3) déterminer les réels a,b et c tels que f(x) = ax + b+ ((cx+d/(x+1)²)

Je mets tout sur le même dénominateur.
Après 3 lignes de calculs pour dvper tout ça, j'obtiens :

axcube+2ax²+ax+bx²+2bx+b+cx+d/ (x+1)²

Après je bloque...

4) En déduire que la droite D y=x+1 est asymptote blabla au voisinage de + infinit et - infinit.

Ca je pense savoir faire mais on a besoin de la 3) ^^

5) Etudier la positon de C par rapport à D

Il me faut la focntion de la 3), puis je fais f(x) que j'ai obtenue - (x+1) qui est la drotie d'équation de D. C'est ça ?

6) calculer la dérivée de f ' (x) et vérifier que f '(x) = (x-1)(x²+4x+5)/(x+1)²

J'utilise la version de la fonction f donnée tout au début.
De forme u/v, donc c'est u'v-v'u/v²
Dois-je bien prendre la fonction du début, ou celle trouvée avec a, b et c ?

Après quelques calculs, j'obtiens :

(2x²+6x+5)(x+1)²-(x+1)puissance4(xcube+3x²+5x+5 )

C'est bon ? après je calcules comme le (x+1) puissance 4 ?



Voila, après il reste 3 autres questions, mais déjà tout ça c'est pas mal, je ne veux pas prendre tout votre temps
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[invite9a322bed]

Bonsoir,

Pourquoi ne pas développer le dénominateur, et appliquer le théorème des limites de fonctions rationnelles en l'infini ?

[invite73a6bca2]

Bonsoir,

Pour la 1ere question ? Si je dvpe le dénominateur, ça revient au même puisque j'ai des x en haut et en bas, donc comme c'est lorsque x tend ver l'infinie, ça donne forcément une forme indéterminée.

J'ai appris en cours que pour résoudre une F.I, il faut factoriser par le terme dominant, ici xcube.

Tu parles de quel théorème ?

[invitec317278e]

il faut factoriser le haut par le terme qui domine le haut, et le bas par le terme qui domine le bas !
ici, ce n'est pas le même en haut et en bas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite73a6bca2]

ça ne marche pas. Il me reste x cube en haut et x carré en bas, si on les remplace par l'infinie, ça fait infinie/infinie, encore une forme indéterminée

[invite9a322bed]

Mais non !!

On t'as jamais dit cela, la limite d'une fration de deux polynômes est égale à la limite de la fraction de leurs plus haut degrés avec leurs coefficients bien évidemment !

Exemple :

Limite de ça en l'infini : est égale à la limite de c'est à dire , et ça fait

[invite73a6bca2]

Donc pour ma fonction, cela donne :

Quand x-> + infinie :

lim f(x) = lim x cube / x² = x/1 = x.

Donc lim f(x) quand x-> + infinie, = + infinie ?


ps : comment faites-vous pour pouvoir mettre les opérations comme le message de mx6 ?

[invite9a322bed]

PS: Pour la justification, tu écris tout simplement, d'après la règle opératoire des limites des fonctions rationnelles en l'infinie.

[invite73a6bca2]

D'accord.

Dans la question 2, il est demander s'il y a des asymptotes, donc la réponse est non ?

Pour les autres questions, vous avez une idée ?

[invite9a322bed]

Bah pour les asymptotes, tu as surement une verticale en 1.....

[invite73a6bca2]

SI je fais ta méthode, de prendre le terme dominant en haut et en bas, j'obtiens + infinie, donc pas d'asymptote.

Mais si je fais ma méthode, factorise par le terme dominant, j'obtiens 1 et donc oui il y a une asymptote verticale y =1.

Est-ce bon ma méthode ? peut-tu être plus explicite s'il te plait ?


En ce qui concerne la 3), je n'arrive pas à trouver la suite de mon calcul... ( voir mon tout 1er post )

[invite73a6bca2]

J'ai refait l'énonce, corrigé quelques erreurs, pour que çà soit + clair :



Définie sur R : f (x) =
C la représentative graphique de f dans un plan muni d'un repère orthonormal.


1) Déterminer les limites de la fonction aux bornes de son ensemble de def :


Je trouve que c'est une forme indéterminée. Je factorise par le terme dominant,

Voila ce que je trouve ;



En + et - l'nfinie , je trouve que la limite de tout ça donne 1. EN effet, il me reste 1 au numérateur, et rien du tout au dénominateur; je crois que quand tout se "barre" au dénominateur, ça fait 1.

J'obtiens donc 1/1 soit 1. est-ce bon ?

2) Y a-t-il des asymptotes horizontales ou verticales ?

Si ma 1) est juste, je dis qu'il y a une asymptote d'équation y=1, qui est verticale. Pas d'horizontale.

Est-ce juste ?

3) déterminer les réels a,b et c tels que f(x)=

Je mets tout sur le même dénominateur.
Après 3 lignes de calculs pour dvper tout ça, j'obtiens :



Après je bloque...

4) En déduire que la droite D y=x+1 est asymptote à la courbe C au voisinage de + infinie et - infinie.

Ca je pense savoir faire mais on a besoin de la 3) ^^

5) Etudier la positon de C par rapport à D

Il me faut la fonction de la 3), puis je fais f(x) que j'ai obtenue - (x+1) qui
est la droite d'équation de D. C'est ça ?

6) calculer la dérivée de f ' (x) et vérifier que f '(x) =

J'utilise la version de la fonction f donnée tout au début.
De forme u/v, donc c'est u'v-v'u/v²
Dois-je bien prendre la fonction du début, ou celle trouvée avec a, b et c ?

Après quelques calculs, j'obtiens :




C'est bon ? après je calcules comment le ? Sachant qu'on doit trouver à la fin

[invite73a6bca2]

Après réflexion, limites de f(x) quand x-> + infinie = + infinie, quand x-> - infinie, lim f(x) = - infinie.

Il y a erreur dans mon énoncé, car la fonction s'annule quand x->- 1

Je procède aux calculs et je reviens ^^