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Limite d'une suite arithmético-géométrique



  1. #1
    Raul13

    Limite d'une suite arithmético-géométrique


    ------

    Salut à tous,



    J'ai un exercice à faire sur feuille pour la rentrée : le n°51.

    J'ai réussi les premières questions mais je bloque à la question 2) b).
    Ils disent de s'inspirer de la méthode de l'exercice précédent.
    Donc j'en déduis qu'il faut que je cherche a tel que la suite vn = un - a soit géométrique.

    Dans l'exercice précédent (le 50 donc), la suite convergeait vers a et on faisait 3/5x +1 = x pour trouver a car a était l'intersection de la droite y=x et de y=3/5x + 1.

    Mais là, j'ai regardé les premiers termes de la suite, et la suite tend vers +l'infini j'ai l'impression (pouvez-vous confirmer)? Alors comment trouver a?

    Je vous remercie d'avance.

    -----

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  3. #2
    Mademoiselle D

    Re : Limite d'une suite arithmético-géométrique

    Bonjour, pourquoi ne pas calculer Vo et trouver ensuite Vn grâce à la relation de récurrence ?

  4. #3
    Raul13

    Re : Limite d'une suite arithmético-géométrique

    Je ne peux pas car je n'ai pas un.
    Mais l'énoncé indique qu'il faut se servir de la méthode exposée l'exercice d'avant donc en trouvant a.

    Merci.

  5. #4
    cleanmen

    Re : Limite d'une suite arithmético-géométrique

    tu veux résoudre .

    Le protocol est le suivant:
    D'abord résoudre l'équation

    où x est l'inconnue.
    Ce x, solution de l'équation te donne une suite constante solution que nous appellerons b et telle que pour tout n de N:


    Ce qui est génant dans ta suite (v) définit par récurrence c'est le 1/4 car sinon on voit tout de suite que v est une suite géométrique.
    Pour l'éliminer (et c'est le second point du protocol) on définie la suite w telle que pour tout n:
    Et o miracle on trouve que (w) est géométrique...

    Je te laisse reflechir sur la suite!
    Dernière modification par cleanmen ; 28/04/2009 à 19h57.

  6. #5
    Raul13

    Re : Limite d'une suite arithmético-géométrique

    Merci beaucoup, c'était pas si compliqué, j'avais fait une confusion que j'ai compris, merci beaucoup.

    Pour la question 3), je bloque.

    J'ai pensé à me servir de la relation :
    un = un+1 - vn ? Mais j'ai essayé sans succès.

    Je pense qu'il faut faire une somme de termes avec comme terme initial vn-1 mais je ne sais pas combien il y a de termes dans cette somme..

    En fait je n'ai pas trop compris d'où vient la relation.

    Quelqu'un pourrait-il m'expliquer?

    Merci

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    cleanmen

    Re : Limite d'une suite arithmético-géométrique

    Pour la suite,
    on a :

    et

    En soustrayant, il vient:


    On reconnait une suite géométrique et on connait le terme général d'une telle suite:


    Finalement


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  10. #7
    Raul13

    Re : Limite d'une suite arithmético-géométrique

    Merci, ta méthode marche mais j'aimerai être en accord avec celle de l'exercice.

    Quelqu'un pourrait-il répondre à mes questions ci-dessus,

    Merci

  11. #8
    cleanmen

    Re : Limite d'une suite arithmético-géométrique

    et bien pour la question 3, on a tout fait. En effet, on vient de trouver le terme général de la suite (v).
    Ya plus qu'a trouver la somme des n premiers termes de (v).


    Et après tu déroules...

  12. #9
    Raul13

    Re : Limite d'une suite arithmético-géométrique

    J'ai bien compris la méthode pour trouver le terme général de vn.

    Mais je n'ai pas du tout compris ta réponse pour la question 3.

    En fait, au départ :
    un = vn-1 + vn-2 + u0 + v0 Je n'arrive pas à comprendre pourquoi, c'est pas faute d'avoir cherché

    Ensuite, je vois que tu fais la somme mais je ne vois pas de quelle façon, peux-tu détailler car j'ai du mal à louper des étapes^^

    Merci encore
    @+

  13. #10
    cleanmen

    Re : Limite d'une suite arithmético-géométrique

    Il faut voir la chose suivante pour la question 3:

    En sommant, comme les termes s'annulent, il reste:

    et donc le résultat.

  14. #11
    cleanmen

    Re : Limite d'une suite arithmético-géométrique

    On se sert des propriétés de la somme:

    Comme est une constante (elle ne dépend pas de n) tu peux la sortir de la somme:

    Je te laisse développer la somme de la suite géométrique. Ca ne devrais pas te poser trop de pb.

  15. #12
    cleanmen

    Re : Limite d'une suite arithmético-géométrique

    aïe aï aïe, j'ai confondu les i et les n...
    Je recommence:

    On se sert des propriétés de la somme:

    Comme est une constante (elle ne dépend pas de i) tu peux la sortir de la somme:

    Je te laisse développer la somme de la suite géométrique. Ca ne devrais pas te poser trop de pb!

    Dsl, je ne peux supprimer mon dernier message, (peut-etre que seul le modo le peut...)
    Dernière modification par cleanmen ; 01/05/2009 à 13h32.

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