[T°S] equa diff
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[T°S] equa diff



  1. #1
    invitedc1c1ec4

    [T°S] equa diff


    ------

    bonjour,
    je suis en train de me préparer pour passer le concours ENI-GEIPI.
    Dans les annales il y a un exercice que je n'arrive pas à résoudre:
    donnez la solution de l'équation différentielle: y'(x)+2y(x)= e^(-2x)*cos(x)

    réponse: (1+sinx)*e^(-2x)
    je trouve: [e^(-2x)*(1+cosx)]/2

    Je pense qu'il doit exister une formule trigo qui me permettre de trouver le "bon résultat" mais je ne la trouve pas?
    Si quelqu'un le sait...

    merci beaucoup

    -----

  2. #2
    Jeanpaul

    Re : [T°S] equa diff

    La solution est exp(-2x) . [A + sin(x)] où A est une constante qui dépend de la valeur initiale, que tu ne spécifies pas.
    Il faut chercher une solution particulière du type exp(-2x). [C sin(x) + D cos(x)] et ajouter la solution générale de l'équation sans second membre qui est A exp(-2x)

  3. #3
    invitedc1c1ec4

    Re : [T°S] equa diff

    j'ai oublié de préciser:
    "vérifiant la condition initiale y(0)=1"
    toutes mes excuses!

  4. #4
    invitedc1c1ec4

    Re : [T°S] equa diff

    néanmoins, je ne comprends toujours pas l'histoire avec la constante !?

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Jeanpaul

    Re : [T°S] equa diff

    Dans le cours, tu as dû voir que pour résoudre une équation différentielle linéaire comme celle-ci, il faut chercher la solution générale de l'équation sans second membre, soit :
    y'(x) + 2 y(x) = 0 et on trouve assez bien que c'est A. exp(-2x) où A est une constante à déterminer plus tard.
    Ensuite il faut trouver une solution particulière. Au flair, connaissant la dérivée de l'exponentielle, on va chercher :
    y = [C sin(x) + D cos(x)] exp(-2x)
    On trouve sans difficulté : y' + 2 y = [C cos(x) - D sin(x)] exp(-2x)
    que l'on identifie avec cos(x) exp(-2x) donc C = 1 et D = 0
    solution particulière : sin(x) exp(-2x) que l'on ajoute à
    solution générale sans second membre : A exp(-2x), ce qui donne comme solution générale avec second membre :
    exp(-2x) [A + sin(x)] et connaissant la valeur y(0) on trouve A = 1

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