bonjour,
je suis en train de me préparer pour passer le concours ENI-GEIPI.
Dans les annales il y a un exercice que je n'arrive pas à résoudre:
je trouve: [e^(-2x)*(1+cosx)]/2donnez la solution de l'équation différentielle: y'(x)+2y(x)= e^(-2x)*cos(x)
réponse: (1+sinx)*e^(-2x)
Je pense qu'il doit exister une formule trigo qui me permettre de trouver le "bon résultat" mais je ne la trouve pas?
Si quelqu'un le sait...
merci beaucoup
La solution est exp(-2x) . [A + sin(x)] où A est une constante qui dépend de la valeur initiale, que tu ne spécifies pas.
Il faut chercher une solution particulière du type exp(-2x). [C sin(x) + D cos(x)] et ajouter la solution générale de l'équation sans second membre qui est A exp(-2x)
j'ai oublié de préciser:
"vérifiant la condition initiale y(0)=1"
toutes mes excuses!
néanmoins, je ne comprends toujours pas l'histoire avec la constante !?
Dans le cours, tu as dû voir que pour résoudre une équation différentielle linéaire comme celle-ci, il faut chercher la solution générale de l'équation sans second membre, soit :
y'(x) + 2 y(x) = 0 et on trouve assez bien que c'est A. exp(-2x) où A est une constante à déterminer plus tard.
Ensuite il faut trouver une solution particulière. Au flair, connaissant la dérivée de l'exponentielle, on va chercher :
y = [C sin(x) + D cos(x)] exp(-2x)
On trouve sans difficulté : y' + 2 y = [C cos(x) - D sin(x)] exp(-2x)
que l'on identifie avec cos(x) exp(-2x) donc C = 1 et D = 0
solution particulière : sin(x) exp(-2x) que l'on ajoute à
solution générale sans second membre : A exp(-2x), ce qui donne comme solution générale avec second membre :
exp(-2x) [A + sin(x)] et connaissant la valeur y(0) on trouve A = 1
