équation différentielle

[invitec1e39d91]

Bonjour, j’ai commencé à aborder les équations différentielles et j’aimerais savoir si ma méthode est la bonne.

Je souhaite résoudre l’équation différentielle suivante :

(E) y’(x) – 3y(x) = x² - 1

Je cherche ainsi les solutions de l’équation homogène (H)

(H) y’(x) – 3y(x) = O

J’écris l’équation normalisée (N)

(N) y’(x)/y(x) – 3y(x)/y(x) = O

d’où y’(x)/y = 3

ln |y| = 3x + K
y = C.e^(3x)

Je recherche ensuite une solution particulière.
Comme elle n’est pas évidente, j’utilise la méthode de la variation de la constante


y = C.e^(3x)

y’= C’ e^(3x) + 3 C e^(3x)

Je remplace donc dans l’équation (E)

(E) y’(x) – 3y(x) = x² - 1

C’ e^(3x) + 3 C e^(3x) – 3 e^(3x) = x²-1

D’où C’ = (x²-1)/e^(3x)

C = intégrale (x²-1)/e^(3x)

Ainsi les solutions de cette équation différentielles sont :

y = C.e^(3x) + intégrale (x²-1)/e^(3x)

à mon avis ça doit pas être trop trop juste….
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[invite3d779cae]

Salut

Tout cela me semble tres juste, je n'ai pas vu d'erreur dans ton raisonnement, il y a juste une petite erreur de frappe dans :
C’ e^(3x) + 3 C e^(3x) – 3 e^(3x) = x²-1
ca aurait du etre : C’ e^(3x) + 3 C e^(3x) – 3 Ce^(3x) = x²-1

sinon rien a signaler

[invite00411460]

y’(x) – 3y(x) = 0

il est plus simple d'écrire l'équation caractéristique:

y -> 1
y' -> r
y'' -> r²
...

donc r - 3 = 0 -> r = 3

la solution générale de l'équation homogène est ySGEH, A.e^(r.x) = A.e^(3x)

pour la solution particulière il est plus simple de prendre un polynome complet du même genre que dans ton équation de départ.
ici tu as x²-1 donc le polynome complet est B.x²+C.x+D et tu remplaces dans ton équodif.

ySPENH (solution particulière de l'équation non-homogène) = B.x²+C.x+D
y'SPENH = 2B.x+C

-> y'(x) - 3y(x) = 2B.x+C-3B.x²-3C.x-3D = x²-1

tu égales les différents coefficients...

-3B = 1
2B-3C = 0
C-3D = -1

B = -1/3
C = 2/3.B = -2/9
D = C/3+1/3 = -2/27+9/27 = 7/27

-> ySPENH = -1/3.x²-2/9.x+7/27

-> ySGENH = ySGEH+ySPENH = A.e^(3x)-1/3.x²-2/9.x+7/27


sauf erreur de calcul.

[invite3d779cae]

Oui c'est vrai qu'il est plus simple de prendre l'equation caracteristique, mais a mon gout ce n'est pas la bonne methode, car on recrache simplement ce qu'on a apris en cours sans comprendre d'ou ca vient ....

D'ailleur toi, sais tu pourquoi il y a une equation caracteristique associé a une equation differentielle ???

Alors que la methode prescedante montrait bien ce qu'on devait faire pour resoudre une equation differentielle.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite00411460]

à mon avis, vu le mètre de syllabi de cours d'analyse que j'ai (vive anne delandtsheer) je crois que je suis sensé le savoir mais non je sais pas.

[invite3d779cae]

En fait il y a une equation caracteristique parce qu'on peut ecrire une equtaion differentielle sous la forme :

[d/dx -a][d/dx -b]y(x)=f(x)

En developpant tu trouve : y"(x)+(-a-b)y'(x)+aby(x)=f(x)

donc si on a une equa diff du type :

y"(x) + 3y'(x) + 5 y(x) = 0

on a : -a-b =3
et ab =5

on a donc a resoudre une equation du genre :

-b(3+b)=5
<=> -b²-3b=5
<=> -b²-3b-5=0
<=> b²+3b+5=0

Et la on remarque que ce sont les coeff de l'equa diff !!

c'est pour ca que j'ai dis que ce n'est pas forcement une bonne methode car on cours circuite un beau morceau de la demonstration

[inviteab2b41c6]

Et pourquoi toute équation de ce type peut se mettre sous cette forme?
C'est juste changer le problème de place...

[invite3d779cae]

oui c'est juste changer le probleme de place, mais c'etait pour expliquer l'existance d'une equation caracteristique associé a une equa diff

[inviteab2b41c6]

Ok ok

On peut aussi expliquer ca parce que l'on veut trouver une solution du type exp(rx) et dans ce cas on aurait

A*exp(rx)"+B*exp(rx)'+C*exp(rx )=0
=Ar²exp(rx)+Brexp(rx)+Cexp(rx) =0
=exp(rx)(Ar²+Br+C)=0

Ceci est nul si et seulement si Ar²+Br+C=0


Après on peut montrer que l'ensemble des solutions est un C-ev de dimension 2