Bonjour, je souhaite résoudre cette équation différentielle :
y’(x) – y(x) = (ax – 1) e^(-2x) (E) y(0)=1/3
Je résous alors l’équation homogène (H)
y’(x) – y(x) = 0
y= C.e^-x
Je trouve une solution particulière
Méthode de la variation de la cste
y= C.e^-x
y’= C’e^-x – C e^-x
Puis je remplace dans (E)
C’ = ( (ax-1).e^-2x ) / e^-x
Et la je ne vois plus quoi faire,
D’une part pour trouver toutes les solutions
Et d’autre part pour trouver une solution qui réponde au problème de Cauchy
Ce qui donne :
C' = (ax - 1) * e^(-x)
Ce qui s'intègre bien, non ?
Où est ton problème exactement ?
c'est quand même beaucoup plus simple d'utiliser des termes du genre:
e^(-2x).(Ax+B) pour la solution particulière
de manière générale e^(Ax).( cos(Bx).(Cx²+Dx+E) + sin(Bx).(Fx²+Gx+H) ) voire un polynome d'un degré supérieur
il faut cependant faire attention au racines du polynome caractéristique qui peut créer des problèmes selon les termes de la solution particulière...
si seulement je retrouvais cette feuille...
ensuite pour satisfaire de cauchy faut se préocuper de la solution particulière seulement, et de remplacer x par sa valeur
et dernièrement, je crois que ya une erreur de signe dans la solution générale
Oui, il y'a une erreur dans la solution générale sans second membre.
Le problème de Cauchy peut se résoudre facilement, en effet l'équation est définie sur un ouvert de R, et est du type
y'(x)=f(y) ou f est une fonction continue sur.
Théorème de Cauchy-Lipschitz:
Il existe une et une seule solution vérifiant ceci dès lors que l'on fixe une condition initiale.
