gros doute sur la somme d'une suite

[invite69d45bb4]

bonjour à tous


on considere la suite (Un) definie par U0 = 1 et Un+1=1/2Un - 1/2

1) à l'aide s'une suite auxiliaire determiner l'expression de Un en fonction de n

reponse de moi: soit (Vn) la suite definie par Vn=Un + 1
Vn+1 =Un+1 +1= 1/2Un - 1/2 + 1=1/2Un + 1/2
=1/2(Vn -1) + 1/2= 1/2Vn pour tout n de N

Vn est une suite geometrique de raison 1/2 et de premier terme
V0=U0 + 1=2
donc Vn=2(1/2)^n
or Vn=Un + 1 d'ou Un=2(1/2)^(n) - 1 pour tout n de N


2) (Sn) est la suite definie sur N par Sn=U0+U1+U2+...+Un
exprimer Sn en fonction de n

reponse de moi:Sn=(V0 - 1) + (V1 - 1) + ... +(Vn -1)

Sn= (V0(1 - q^n+1)/(1 - q)) - 1(n+1)
= 3 - 4(1/2)^(n+1 ) - n



ma question: est ce que tout ce que j'ai fait ici est correct ?car j'ai tout de meme des doutes


merci par avance
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[Flyingsquirrel]

Salut,

reponse de moi: soit (Vn) la suite definie par Vn=Un + 1
Vn+1 =Un+1 +1= 1/2Un - 1/2 + 1=1/2Un + 1/2
=1/2(Vn -1) + 1/2= 1/2Vn pour tout n de N

Vn est une suite geometrique de raison 1/2 et de premier terme
V0=U0 + 1=2
donc Vn=2(1/2)^n
or Vn=Un + 1 d'ou Un=2(1/2)^(n) - 1 pour tout n de N

Oui et tu peux même simplifier un tout petit peu :

2) (Sn) est la suite definie sur N par Sn=U0+U1+U2+...+Un
exprimer Sn en fonction de n

reponse de moi:Sn=(V0 - 1) + (V1 - 1) + ... +(Vn -1)

Sn= (V0(1 - q^n+1)/(1 - q)) - 1(n+1)
= 3 - 4(1/2)^(n+1 ) - n

C'est correct. (même remarque pour la simplification : )