dm 1ère s limites et asymptotes aide svp

[invite6c86a301]

bonjour,
j'ai un dm de math sur les limites et asymptotes (1ère s). Normalement le 1 est bon mais le 2, je n'arrive pas à terminer.
pourriez-vous m'aider?

voici l'énoncé:
soit la fonction f définie sur R - {-2;5}, par f(x)=(x²+x-6)/(x²-3x-10)
1.Montrer que, pour tout x de R - {-2;5}, f(x) peut s'écrire sous la forme f(x)=a + (b/(x+2)) + (c/(x-5)), où à, b et c sont des réels à determiner.
2. Etudier les variations de f; dresser son tableau de variation. on précisera les limites de f aux bornes de son ensemble de définition.
3. Soit C la courbe représentative de f, dans un repère orthonormal (O, vecteur i; vecteur j) d'unité 1 cm
4a. Montrer que C possède trois asymptotes dont on donnera l'équation.
4b. Etudier la position relative de C par rapport à son asymptote horizontale.
4c. Determiner l'équation réduite de la droite T, tangeante à C au point I.
4d. T coupe C en un point J. Déterminer les coordonnées de J.
4e. Construire C, T et les trois asymptotes à C.

voici mes réponses:
1. a + (b/(x+2)) + (c/(x-5))=(ax+2a+b)/(x+2) + c/(x-5)=(ax(x-5) + 2a(x-5) + b(x-5) + c(x+2))/((x+2)(x-5))= (ax²-5ax+2ax-10a+bx-5b+cx+2c)/((x+2)(x-5))= (ax²+x(-3a+b+c)+(-10a-5b+2c))/(x²-3x-10)

par identification
{a=1 {-3a+b+c=1 {-10a-5b+2c=-6
{a=1 {b+c=4 {-5b+2c=4
{a=1 {b+c=4 {-5(4-c)+2c=4
{a=1 {b+c=4 {7c=24
{a=1 {b=4/7 {c=24/7


2. f(x)=a + (b/(x+2)) + (c/(x-5)) donc
f(x)=1+ ((4/7)/(x+2)) + ((24/7)/(x-5))

f'((4/7)/(x+2))=U/V u=4/7 u'=0 v=x+2 v'=1
(u'v-v'u)/v²=(-4/7)/(x+2)²

f((24/7)/(x-5))=U/V u=24/7 u'=0 v=x-5 v'=1
(u'v-v'u)/v²=(-24/7)/(x-5)²

f'(x)=(-4/7)/(x+2)²+(-24/7)/(x-5)²=((-4/7)(x-5)²+(-24/7)(x+2)²)/((x+2)²(x-5)²)=-(4/7)x²+(4/7)(10x)+25(4/7)-(24/7)x²-(24/7)(4x)-(24/7)4)/((x+2)²(x-5)²)=(-6x²-8x+12)/((x+2)²(x-5)²)


soit delta le discriminant du trinome -6x²-8x+12
delta=b²-4ac
=64-288
=-224
delta plus petit que 0, 6x²-8x+12 est toujours inférieur à 0

tableau de signe
x -infini...................-2.....................5....... ............+infini
-6x²-8x+12 - - -
(x+2)² + 0 + +
(x-5)² + + 0 +
F'(x) - VI - VI -
F(x) DECROISSANTE

lim f(x) quand x tend vers -infini=lim1+ ((4/7)/(x+2)) + ((24/7)/(x-5)): lim1=1 lim(4/7)/(x+2)=0 lim((24/7)/(x-5))=0
lim f(x) quand x tend vers -infini=lim1+ ((4/7)/(x+2)) + ((24/7)/(x-5))=1
lim f(x) quand x tend vers +infini=lim1+ ((4/7)/(x+2)) + ((24/7)/(x-5))=1
comment est-ce possible que la fonction tende vers 1 que sa limite tende vers +ou- infini si elle est décroissante? est-ce que mes calculs sont justes jusque là?
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[invite07dd2471]

tout est juste..

un ou deux trucs pour te simplifier la vie : ton f' est négatif, ça se voit ds le début, comme les carrés sont toujours positifs, l'opposé d'un carré est négatif et la somme de deux nombres négatif est négative.. tu peux tout de suite marquer f'=-(4/7)........ <0

et ensuite la limite ya pas de raison qu'elle soit fausse.. pense à la fonction 1/x, elle est décroissante et tend vers 0 en plus ou moins l'infini..

d'ailleurs cette limite est un bon truc pour que tu puisses avoir ton a dès le début.. tu as f(x) = a + b/......... la limite en plus l'infini est a.. or la limite en plus l'infini de x²+......./x²+..... est 1 donc par identification tu as tout de suite a =1.

tu peux continuer ^^

[Flyingsquirrel]

Salut,

f'(x)=...=(-6x²-8x+12)/((x+2)²(x-5)²)

Pas d'accord, je trouve (ceci dit ça ne change rien à la conclusion).

comment est-ce possible que la fonction tende vers 1 que sa limite tende vers +ou- infini si elle est décroissante?

Si tu traces le graphe de la fonction tu verras comment c'est possible.

[invite6c86a301]

ok Merci beaucoup ^^

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite07dd2471]

Salut,

Pas d'accord, je trouve (ceci dit ça ne change rien à la conclusion).

fallait en avoir envie de le vérifier le calcul ^^

[invite6c86a301]

[QUOTE=Flyingsquirrel;2366767]

Pas d'accord, je trouve (ceci dit ça ne change rien à la conclusion).

je pense que vous avez raison, je vais essayer de trouver mon erreur... merci

[Flyingsquirrel]

fallait en avoir envie de le vérifier le calcul ^^

Je n'en avais pas envie, je l'ai fait vérifier à http://www.quickmath.com...

[invite6c86a301]

il y a un site qui vérifie les calculs??

[Flyingsquirrel]

il y a un site qui vérifie les calculs??

Pas vraiment, il est (entre autres) capable de dériver des fonctions (differentiate dans le menu de gauche). En comparant le résultat qu'il donne et le tien ça permet de voir si tu as fait une erreur ou non (mais on ne sait pas où elle est...).

[invite6c86a301]

j'ai trouvé mon erreur. merci

[invite07dd2471]

un autre moyen pour ne pas avoir à faire vérifier ses calculs, est d'éviter de se lancer dans des calculs de boeuf lorsque c'est possible

[invite6c86a301]

ben oui mais là j'avais pas le choix...

[invite07dd2471]

ben si, je te l'ai dit.. une somme de deux nombres négatifs est négative.. pas la peine de faire ce calcul monstrueux puis de chercher les racines etc.. non seulement tu perds du temps mais en plus tu multiplies les risques de faire des erreurs

[invite6c86a301]

oui mais il fallait bien que je calcule pour pouvoir mettre le resultat dans le tableau de signe

[invite6c86a301]

j'ai une question pour le 3. on sait que l'une des asymptote est l'symptote horizontale y=1 car la lim de f lorsque x tend vers + ou - l'infini tend vers 1.

je suppose que les 2 autres asymptotes sont x=-2 et x=5 car ce sont les valeurs interditent de f

mais comment je peux le montrer, enfin le justifier?

[Flyingsquirrel]

oui mais il fallait bien que je calcule pour pouvoir mettre le resultat dans le tableau de signe

Non, il suffit de dire que, pour pris dans l'ensemble de définition de , et donc et puis .

je suppose que les 2 autres asymptotes sont x=-2 et x=5 car ce sont les valeurs interditent de f

mais comment je peux le montrer, enfin le justifier?

En montrant que tend vers quand tend vers ou quand tend vers (idem en 5).

Normalement tu devrais déjà avoir calculé calculer ces limites puisqu'elles doivent apparaître dans le tableau de variation.

[invite6c86a301]

euh... non je ne les avait pas calculé, je ensait qu'il ne fallait calculer que la limite de f(x) quand x tend vers + ou - infini

[Flyingsquirrel]

Non, l'énoncé précise qu'il faut calculer les limites aux bornes de l'ensemble de définition. Ici l'ensemble de définition c'est et ce qu'ils appellent ces « bornes » ce sont , , et .