Limites et droites asymptotiques
Je suis en 1ère ES et j'ai un exercice de mathématiques à faire que je ne comprend pas. Merci de m'aider à le résoudre :^^
Soit f(x) = x^3/x²-4 définie sur ]2;+infini[ et C sa courbe
a) Démontrer que la droite D d'équation y = x est asymptote à C en + infini
b) Etudier la position de la courbe C par rapport à la droite D sur ]2;+ infini[
c) Etudier la limite de f(x) quand x tend vers 2, avec x>2.
En donner une interprétation graphique
Je vous remercie de votre aide...
Dire qu'une courbe a une droite asymptote quand x tend vers l'infini est la même chose que de dire que, quand x tend vers l'infini, on peut approximer f(x) par a x + b avec a et b bien choisis.
Si tu préfères, on peut encore dire que f(x) - (a x + b) tend vers zéro quand x tend vers l'infini, la courbe se rapproche toujours plus de la droite quand on s'éloigne.
Donc, pour ton exo, tu calcules f(x) - x et tu regardes comment ça se comporte quand x devient grand : Est-ce positif ? Est-ce que ça tend vers zéro ?
a)
lim(x->inf) de f(x) = lim(x->inf) de (x^3/x^2) = lim(x->inf) de x
b)
utilise les résultats des points a et c et note que vers x=7/2 y'a un minimum (si tu fais la dérivée. Je l'ai pas faite par paresse mais j'ai tracer le graphe sur mon ordi)
c)
lim(x->2) de f(x) = lim(e -> 0) de ((2+e)^3 / ((2+e)^2 - 4)) avec e>0
tu développes, ça fait : lim(e->0) de (8+12e+6e^2+e^3) / (4e+e^2)
Donc la limite quand e tend vers zéro depuis la droite (depuis les positifs), c'est "8 / 0+", donc +infini. (le 0+ c'est pour dire que le dénominateur est infiniment petit, mais de signe positif, mais si ça ne veut rien dire mathématiquement parlant).
