Démontrer 0.5757...=19/33

invite2dc46307 · 24/05/2009, 17h44

Bonjour,

je suis en 1ère S et je dois faire l'exercice suivant pour demain et malgré un bon départ, je reste bloquée...Quelqu'un pourrait-il m'aider?

Voici l'exercice :

Soit U_n=57x10^-2+57x10^-4+57x10^-6+...+57x10^-2n

1) Montrer U_n=57x10^-2(1-10^-2n/1-10^-2)

Ici j'ai factorisé par 57x10^-2 et j'ai obtenu :
U_n=57x10^-2 x(1+10^-2+10^-3+...+10ⁿ)
U_n=57x10^-2 Et là problème car le quotient qu'on doit obtenir ressemble à la somme d'une suite géométrique mais je ne trouve pas la raison de celle-ci. Cela pourrait marcher avec q=10^-1 mais pas pour passer de 1 à 10^-1

2) En déduire que (U_n) converge vers 19/33.

3) Montrer que 0,5757...=19/33

4) Donner la valeur de 0,9...=0,99999

Merci d'avance

**Flyingsquirrel** · 24/05/2009, 17h50

Salut,

Envoyé par Erika89

Ici j'ai factorisé par 57x10^-2 et j'ai obtenu :
U_n=57x10^-2 x(1+10^-2+10^-3+...+10ⁿ)

Non, le troisième terme de la somme n'est pas $\text{[math]}$ .

invite2dc46307 · 24/05/2009, 17h53

Envoyé par Flyingsquirrel

Salut,

Non, le troisième terme de la somme n'est pas $\text{[math]}$ .

Ah oui ça ne serait pas 10^-4...
Mais après...?

**zoup1** · 24/05/2009, 17h56

la raison c'est q=10^-2

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

**Flyingsquirrel** · 24/05/2009, 17h57

Oui, les trois premiers termes de la somme sont 1, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .

Par quel nombre faut-il multiplier 1 pour obtenir $\text{[math]}$ (facile ) ?
Par quel nombre faut-il multiplier $\text{[math]}$ pour obtenir $\text{[math]}$ ?

Ça devrait t'aider à trouver la raison.

Edit : croisement avec zoup1

invite2dc46307 · 24/05/2009, 18h03

Merci à vous deux!
J'ai réussi la question 1.

Par contre pour la 2 et pour la suite je ne vois vraiment pas quelle formule il faut appliquer ou par quoi passer!

**zoup1** · 24/05/2009, 18h08

Ben tu fais tendre n vers l'infini...

**mx6** · 24/05/2009, 18h21

Bonjour,

Voici une démo, simple et charmante !

On pose $\text{[math]}$

Alors $\text{[math]}$

Et $\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$

Et donc $\text{[math]}$ .

**fiatlux** · 24/05/2009, 18h27

Envoyé par mx6

Bonjour,

Voici une démo, simple et charmante !

On pose $\text{[math]}$

Alors $\text{[math]}$

Et $\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$

Et donc $\text{[math]}$ .

simple et charmante, en effet^^ mais c'est plutôt q = 55/99, attention ^^

**fiatlux** · 24/05/2009, 18h29

Envoyé par mx6

Bonjour,

Voici une démo, simple et charmante !

On pose $\text{[math]}$

Alors $\text{[math]}$

Et $\text{[math]}$

Soit $\text{[math]}$

Et donc $\text{[math]}$ .

simple et charmante, en effet^^ mais c'est plutôt q = 57/99, attention ^^

invite2dc46307 · 24/05/2009, 18h31

Je trouve :

lim _+inf(U_n)=57*10^-2*((1-0)/(1-10^-2))
lim _+inf(U_n)=57*10^-2/(1-10^-2)
lim _+inf(U_n)=57*10^-2-57
lim _+inf(U_n)=57*(10^-2-1)
lim _+inf(U_n)=57*(-99/100)
lim _+inf(U_n)=-56,43

invite2dc46307 · 24/05/2009, 18h34

J'avais déjà vu avec cette démo quelque part en effet mais mon problème est qu'il faut ici utiliser la convergence de (Un)...!

**zoup1** · 24/05/2009, 18h38

Envoyé par Erika89

Je trouve :

lim _+inf(U_n)=57*10^-2*((1-0)/(1-10^-2))
lim _+inf(U_n)=57*10^-2/(1-10^-2)
lim _+inf(U_n)=57*10^-2-57
lim _+inf(U_n)=57*(10^-2-1)
lim _+inf(U_n)=57*(-99/100)
lim _+inf(U_n)=-56,43

ce que tu as écrit entre la ligne 2 et 3 ; c'est ça :
$\text{[math]}$
Tu crois que c'est correct ?

invite2dc46307 · 24/05/2009, 18h54

Merci Zoup1!

En effet :

lim=57*10^-2*(1/(1-10^-2))
lim=57*10^-2/(1-10^-2)
lim=0,57/99/100
lim=57/99
lim=19/33

Après pour la question 3 on peut faire comme fiatlux et mx6 mais cela n'est pas de la façon dont l'exercice nous le demande...?

**zoup1** · 24/05/2009, 18h56

Si c'est la bonne façon de faire... on est plutôt sensé partir dans l'autre sens pour rester dans l'esprit de l'exercice, mais cela n'a aucune importance.

invite2dc46307 · 24/05/2009, 19h09

Peut-on mettre :

U_n=0,5757...
100U_n=57,5757...
Donc:
99U_n=57
U_n=57/99
U_n=19/33

Conclusion : 0,5757...=19/33

?

**zoup1** · 24/05/2009, 19h21

Oui, mais ce n'est pas $\text{[math]}$ mais $\text{[math]}$ . Cela dit tout cela est indépendant de ce que tu as pu faire auparavant, tu peux donc l'appeller A si tu veux.

**mx6** · 24/05/2009, 21h07

La question 3 est une conséquence directe des deux questions précédentes.

La question 4, il me semble qu'il n'existe pas d'écriture fractionnaire pour ce résultat, ca vaut tout simplement 1, voici deux méthode pour le démontre :

Si on pose $\text{[math]}$
alors $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .

deuxième méthode :

On sait que $\text{[math]}$
Et $\text{[math]}$

invite2dc46307 · 24/05/2009, 21h35

Envoyé par mx6

La question 3 est une conséquence directe des deux questions précédentes.

La question 4, il me semble qu'il n'existe pas d'écriture fractionnaire pour ce résultat, ca vaut tout simplement 1, voici deux méthode pour le démontre :

Si on pose $\text{[math]}$
alors $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ donc $\text{[math]}$ .

deuxième méthode :

On sait que $\text{[math]}$
Et $\text{[math]}$

Je pense avoir bien compris compris la démarche de l'éxo.

Merci à tous pour vos contributions.

Bonne soirée.

Démontrer 0.5757...=19/33

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