Limites et polynômes

[invite17d84b62]

Bonjour à tous,

La forme ax² + bx + est bien un polinôme du second degrès ?, je commence mon programme de 1°STI (cette année je suis en T°BEP et j'ai eût l'avis favorable pour la 1°STI) donc je me suis remis à niveau et voulais savoir si juste ax² + bx + c = ... dans un équation comme celle ci-dessus ou dans un fonction polynôme de type P(x) = ax² + bx + c reste un polinôme du second degrès ?
Si vous savez, pouvez-vous me répondre, j'ai dû imprimer 40 pages sur les limites (qui paraît simple en apparence) et les polinômes aussi mais sans professeurs c'est dur à comprendre donc si quelqu'un pouvait avoir le plaisir de me donner un petit (ou un grand ^^) cours sur les polinômes et les limites (si il veut) j'aimerai beaucoup.

Merci, PS : j'ai déjà posté un topic mais sans réponses...
-----

[invitea29d1598]

salut,

La forme ax² + bx + est bien un polinôme du second degrès ?

non, perdu : c'est un polYnôme du second degré [et uniquement si a n'est pas nul]

pour le degré, c'est simple : tu regardes quel est l'exposant le plus élevé avec lequel apparaît ta variable. Ici c'est donc bien 2 si a n'est pas nul.

bon courage

[fiatlux]

Un polynôme de la forme est toujours du deuxième degré si "a" est non nul. Le degré d'un polynôme se mesure au plus haut exposant contenu dans le polynôme. C'était ça, ta question ?

Sinon, concernant tes autres questions, est-ce que tu pourrais être un peu plus spécifique. "les polynômes et les limites", c'est pas mal vague quand même

[invite17d84b62]

Mon problème est qui me manque le lien pédagogique qui relie mon programme de T°BEP à 1°STI, les profs ont le truc pour faire suivre le courant mais moi non, et je fais appel à vous donc, voilà ce que j'ai fait cette année et ce que j'entamme :
- Suites arithmétiques et géométriques
- Cercles et équations trigonométriques
- Statistiques
- Fonctions linéaire, affine, inverses, usuelles (carré, cube, racine carrée)
- Vecteurs
- Théorème de Pythagore
- Théorème de Thalès
- Loi des cosinus
Et je commence :
- Les limites de fonctions (et de suites, mais surtout de fonctions)
- Les polinômes
- Les dérivées

Voilà ce qui me manque mais je sais pas si c'est essentiel pour apprendre les 3 chapitres cités ci-dessus :
- Logarithme (népérien, je sais pas s'il y en a d'autres)
- Exponentielle (je crois que c'est qu'en Terminale)
On a tout juste testé le logarithme dans une formule d'électronique pour un calcul de décibels.

J'ai les notions de :
- Puissances
- Fractions
- Factorisation et Développement
- Priorités (paranthèses, multipliés...)
- Equations du premier degrès, de produits nuls
- Systèmes d'équations (à revoir, car on n'en a pas fait depuis l 3ème)

Voilà, je sais que ça peut être embettant de devoir faire un mega-cours sur trois chapitre, mais je suis un passionné des maths et j'ai plus de profs pendant 2 mois (vacances) donc je fais appel à ceux qui aimerait bien faire le prof pour moi ^^ et s'il y des exos à faire pour s'entraîner et tester les connaissances acquises je les ferais.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite17d84b62]

est-ce que tu pourrais être un peu plus spécifique. "les polynômes et les limites", c'est pas mal vague quand même

Et bien justement, je ne peux pas te répondre car il me manque ce début, cette liaison qui lie mon programme de T°BEP à 1°STI, on n'a jamais fais de limites ni de polinômes en BEP c'est pas du tout du même niveau, c'est donc un cours depuis le début, depuis les bases des limites et des polinômes (le début, pas un cours de T°S évidement, de toute façon ça serait trop) juste entammer le programme de 1°STI, je voudrai maitriser ces deux chapitre d'ici la rentrée car j'aime beaucoup les maths et tout seul c'est très très dur.
Il faut qu'on m'apprenne les règles à savoir, les propriétés du genre je sais que si une fonction converge vers un point alors sa limite est unique (je crois que c'est ça) ou encore, je sais que si la limite ne tend vers aucun point alors la limite n'existe pas (élémentaire évidement) mais voilà, il faut que je saches tout.
En ce qui concerne les formes indéterminées du genre de 0 / 0 ou / , c'est pareil alors je sais qu'il y a un théorème très approprié celui de l'Hopital je crois mais c'est hors programme de T°(S) donc même pas envisageable.
J'ai un tableau des valeurs remarques lorsque telle fonction en + infini ou - infini ou en 0 tend vers machin alors sa limite sera de type + infini ou - infini bon je l'ai et y'a un paquet de valeurs ramarquable à connaître je crois donc je crois que ça n'est que en faisant des exos que je les connaîtrais...

Voilà, merci beaucoup à ceux qui auront le courage de m'enseigner tout ça.

[fiatlux]

euh........ d'accord.
Tu veux commencer par quoi ?
La priorité, c'est ces 3 chapitres, si j'ai bien compris:
- Les limites de fonctions (et de suites, mais surtout de fonctions)
- Les polinômes
- Les dérivées

Tu as déjà fait un calcul de limite ? Tu as déjà vu des polynômes de degré 3 ? Plus grand que 3 ? de degré n ?
Tu as déjà fais une dérivée ? D'un polynôme ? D'une autre fonction ?

PS: si c'est pas indiscret, je peux connaître ton âge? ça m'aidera à situer ton niveau, parce que T°BEP à 1°STI et tout ça, ça me dit rien du tout car c'est pas la même chose en Suisse (je suis suisse)

[fiatlux]

Bon, disons que je veux bien t'expliquer certaines notions, surtout si tu as des exercices que tu ne comprends pas, mais par contre t'enseigner toute cette matière et inventer des exercices.... j'ai pas le temps, désolé. Tu dois certainement pouvoir trouver des exercices sur internet, peut-être meme sur ce forum, et sinon demande à un prof, en général il devrait se faire un plaisir de t'en refiler

[invite17d84b62]

Bon déjà je te remercie beaucoup de m'aider, donc j'ai 16 ans, j'ai fait la bétises d'entrer en BEP Electronique, là j'ai une moyenne assez bonne et un bon dossier pour entrer en 1ère STI Génie Electronique, je suis un grand passionné des sciences et des technologies : mes matières préférées sont les Maths, la Physique et l'Informatique;

Alors, j'ai tenté de calculer la limite d'une fonction dans mon cahie de maths, seulement je ne savait pas qu'une fonction était en + Infini ou - Infini ou en 0 donc elle n'a aucun sens, j'ai donc écris ça :

On a f(x) = 3x² + x², calculer cette fonction pour x = 100, donc f(x) = 3 x 100² + 100² = 3x10⁵ + 10⁴ = 31x10⁴

Ensuite on a l'intervalle ]100 ; +[ (sachant que je n'ai aucun idée de la fonction des crochets, j'ai des échos avec les inéquations mais pour les intervalles ?? alors je crois que ]100 ; +[ signifie que l'intervalle comprend les valeurs comprises entre 100 et + Infini dont 100 compris et les valeurs de + Infini comprises aussi car elles sont infiies (PS : donc ..; +] n'est pas possible ou alors c'est la même chose si le dernier crocher est [ ? Bref)
Avec x > 10 et f(x) E ]100 ; [
J'ai écris f(100) (pour x = 100) = 31x10⁴ :
lim lorsque x tend vers + f(100) = 31x10⁴

Mais je crois que c'est faux, c'était un essaie, en ce qui concerne les dérivée je n'en ai aucune notions, je ne sais as ce que c'est.

Voilà ^^

[invite17d84b62]

Bon, pour le prof c'est impossible, il me reste que 2 jours de cours avant de passer le BEP et après j'ai plus cours donc je n'ai plus le temps de lui demander de m'enseigner tout ça, je n'ai plus qu'une heure de cours avec lui, vendredi.

Mais je veux bien tes notions, merci

[invite17d84b62]

Q : Dans une fonction, lorsque x = 10 par exemple, je peux écrire f(10) = ... ou pas ?

[invite17d84b62]

Bon en ce qui concerne le fait que pour le polynôme du 2nd degrès 'a' doit être non nul ok : j'ai enregistré, et je sais aussi que le degrès d'un polynome se mesure grâce à sa variable dont l'exposant est le plus élevé. Continuons...

[fiatlux]

Primo, c'est pas une bêtise de faire de l'électronique, je fais mes études d'ingénieur là-dedans

Revenons à nos moutons ^^

Tu t'es trompé dans ton calcul:
D'abord tu peux voir que , c'est , ce qui simplifie le calcul, mais si je reprends ce que tu as écrit:
(c'est pas )
Comme tu vois, avec , tu trouves tout de suite:

Pour les crochets:
]100;+infini[ siginifie tout l'intervalle entre 100 et l'infini, mais SANS 100 et sans l'infini (l'infini n'est JAMAIS dans un intervalle, puisqu'il est infini, donc la notation ... ; +infini] n'a aucun sens).
[100; +infini[ c'est le même intervalle qu'avant, mais AVEC 100.
Idem avec -infini :
L'intervalle ]-infini ; 4] c'est tout les nombres entre -infini et 4, avec 4 (et sans -infini).
]-infini ; +infini [ c'est l'ensemble des nombres réels (donc tous les nombres qui existent (sauf les nombres complexes, mais je ne pense pas que tu as vu ça, donc oublie pour l'instant).

pour une limite je te donne des exemples:
, C est une constante.

car si tu divises 1 par un très grand nombre, ça fait quelque chose de très proche de zéro. Si tu divises par quelque chose d'encore plus grand, c'est encore plus proche de 0, donc si tu divises par l'infini, c'est 0.

[fiatlux]

Pardon c'est des limite lorsque x tend vers l0'infini, pas n....

Donc par exemple:
c'est :
et 40'000 c'est une constante (ça ne dépend pas de x). Autrement dit peut importe vers quoi tend x , que ce soit 0 ou l'infini, 40'000 c'est 40'000, donc:

[invite17d84b62]

D'accord je comprend mieux, j'ai saisis l'histoire des paranthèses et j'allais justement te dire pourquoi 'n' avant que tu ne te corriges de toi même merci beaucoup et si tu veux continuer alors je t'écoutes, enfin je te lis..

[fiatlux]

Bon, moi je dois me lever assez tôt demain matin donc faut que j'aille dormir maintenant
Essaie de trouver des exercices, peut-être meme que y'en a sur ce forum, et demain j'y jette un oeil pour t'expliquer (si je trouve le temps)

[invite17d84b62]

Dans les limites;

Je sais que la limite de (par exemple) f(x) = x² x tend vers + est + : ok, mais si j'ai f(x) = x² + 3, 3 n'a pas d'importance ? Si ?
Est-ce que je pourrais écrire lim x tend vers + f(x) = x² + 3 = + ? Et idem pour tout les autres types de fonctions : cubes, racines carrées : ect... : f(x) = ax + b est uen fonction (affine), si j'ai f(x) = 2x + 3 - 2 je dois me rappeler du tableau pour connaître la limite, donc arrêtez-moi si je me trompe mais si on connais le tableau par coeur alors le calcul des limites est simple (sauf s'il y a des Log, des Exp.. mais de ce niveau) ??

Je vais calcule des limites et vous me direz si j'ai fux et pourquoi.

[fiatlux]

Dans les limites;

Je sais que la limite de (par exemple) f(x) = x² x tend vers + est + : ok, mais si j'ai f(x) = x² + 3, 3 n'a pas d'importance ? Si ?
Est-ce que je pourrais écrire lim x tend vers + f(x) = x² + 3 = + ? Et idem pour tout les autres types de fonctions : cubes, racines carrées : ect... : f(x) = ax + b est uen fonction (affine), si j'ai f(x) = 2x + 3 - 2 je dois me rappeler du tableau pour connaître la limite, donc arrêtez-moi si je me trompe mais si on connais le tableau par coeur alors le calcul des limites est simple (sauf s'il y a des Log, des Exp.. mais de ce niveau) ??

car le 3 est beaucoup plus petit (infiniment plus petit) que l'infini, et l'infini+3, c'est l'infini, de même que l'infini - 3, c'est aussi l'infini. Même l'infini - 12423423 ça reste l'infini, car comme son nom l'indique, l'infini n'est pas fini, alors que n'importe quel nombre réel, même très grand, est fini. Exemple:


Pour une fonction du type f(x) = ax + b, comme je viens de le dire ci-dessus, peut importe la valeur de b, puisque b est de toute façon plus petit que l'infini et donc négligeable par rapport à l'infini. Donc:

La réponse dépend alors de "a".
Si a>0:

Si a<0:

Si a=0:
C'est un cas indéterminé, ça ferait et il faudrait utiliser la règle de l'Hospital, mais ça c'est pour plus tard..

[invite17d84b62]

Donc voilà, j'essaie de calculer la limite :



Je vais développer

[invite17d84b62]

Donc voilà, j'essaie de calculer la limite :



Je vais développer

Donc


Je peux donc utiliser le tableau des valeurs remarquable pour calculer la limite de , donc


Dites-moi si j'ai juste ou faux. Merci encore et c'est l première fois que je fait du LaTeX ^^

[fiatlux]

Oui c juste
Si tu développes:
En prenant la limite vers -infini séparément:

mais:

Alors que vaut:
?

Ce qu'il faut savoir (c'est important), c'est que dans une limite d'un polynôme (ici de degré 2), c'est toujours le x élevé à la plus haute puissance qui compte pour la limite, autrement dit:

Par exemple pour un polynôme de degré 7 :

[invite17d84b62]

Mais on fait des polynômes depuis toujours, mais un polynôme du secod degrès ne doi-il pas être de la forme ou ça n'a pas d'importance, que juste ce qui compte c'est le degrès du polynôme en fonction de sa variable dont l'exposant est le plus élevé ?

[fiatlux]

Mais on fait des polynômes depuis toujours, mais un polynôme du secod degrès ne doi-il pas être de la forme ou ça n'a pas d'importance, que juste ce qui compte c'est le degrès du polynôme en fonction de sa variable dont l'exposant est le plus élevé ?

ton polynôme c'était , donc a = 1, b = 1, c = 0. C'est bien un polynôme du second degré de la forme

[invite17d84b62]

Bon voilà, aujourd'hui j'ai tenté de déterminer des tas de limites, dis-moi si c'est juste ou faux et pourquoi ^^ :


1-

C'est la forme d'un polynôme du 3ème degrès, je dois donc calculer la limite de sa variable qui a le plus haut degrès, ici :



2-

C'est un quotient de deux polynômes du second degrès, j'ai donc gardé leur variable du plus haut degrès et poursuivit mon calcul.


3-

Pareil que pour le 2-.


4-

Là je ne sais pas quoi faire, je n'arrive pas à gérer avec une racine carrée... qu'est-ce qu'il faut faire ?


5-

C'est un polynôme du 3ème degrès car la variable ayant l'exposant le plus élevé est , je garde uniquement ce terme et je calcule sa limite.



6-

Comme pour le 3-, c'est un quotient de deux polynômes du 2nd degrès, je garde leur terme dont l'exposant de la variable est le plus élevé, ici ainsi que et et je fais le calcul.


Donc voici les premiers essais que j'ai fait, dites-moi ce qui est faux pourquoi et ce qui est juste, j'écris la suite des exos que j'ai fais en ce moment. ^^

[fiatlux]

Bon voilà, aujourd'hui j'ai tenté de déterminer des tas de limites, dis-moi si c'est juste ou faux et pourquoi ^^ :


1-

C'est la forme d'un polynôme du 3ème degrès, je dois donc calculer la limite de sa variable qui a le plus haut degrès, ici :



2-

C'est un quotient de deux polynômes du second degrès, j'ai donc gardé leur variable du plus haut degrès et poursuivit mon calcul.


3-

Pareil que pour le 2-.


4-

Là je ne sais pas quoi faire, je n'arrive pas à gérer avec une racine carrée... qu'est-ce qu'il faut faire ?


5-

C'est un polynôme du 3ème degrès car la variable ayant l'exposant le plus élevé est , je garde uniquement ce terme et je calcule sa limite.



6-

Comme pour le 3-, c'est un quotient de deux polynômes du 2nd degrès, je garde leur terme dont l'exposant de la variable est le plus élevé, ici ainsi que et et je fais le calcul.


Donc voici les premiers essais que j'ai fait, dites-moi ce qui est faux pourquoi et ce qui est juste, j'écris la suite des exos que j'ai fais en ce moment. ^^

1. c'est juste, sauf que car un nombre négatif au cube donne quelque chose de négatif

2. je me suis peut-être mal exprimé, mais l'histoire du "on ne garde que le plus haut degré", c'est lorsqu'on a une limite qui tend vers +infini ou -infini, sinon ça ne s'applique pas!
Le numérateur tend vers un nombre fini (3), le dénominateur vers 0. Donc une division par 0 ça fait l'infini.

3. ici la limite est vers l'infini, donc la règle s'applique. Sauf que c'est faux d'écrire:
mais plutôt

et ça , ça fait:


4. Le numérateur tend vers un nombre fini (1), le dénominateur vers 0. Donc une division par 0 ça fait l'infini.

5. juste

6.

[invite17d84b62]

3. ici la limite est vers l'infini, donc la règle s'applique. Sauf que c'est faux d'écrire:
mais plutôt

et ça , ça fait:

Ok, donc ça j'ai compris, je dois réecrire l'égalité de la limite et pas que de l'expression mathématique dont je cherche la limite : Ok. ^^
Mais par contre, je ne comprend pas pourquoi écrire ? Je veux dire par là que je ne comprend d'où sort le et le ?

4. Le numérateur tend vers un nombre fini (1), le dénominateur vers 0. Donc une division par 0 ça fait l'infini.

Ici, comment fais-tu pour savoir que le numérateur tend vers et le dénominateur vers ?

6.

Et là tu as simplifié en retirant les . Ok.

J'envoi la suite ^^

[fiatlux]

Ok, donc ça j'ai compris, je dois réecrire l'égalité de la limite et pas que de l'expression mathématique dont je cherche la limite : Ok. ^^
Mais par contre, je ne comprend pas pourquoi écrire ? Je veux dire par là que je ne comprend d'où sort le et le ?



Ici, comment fais-tu pour savoir que le numérateur tend vers et le dénominateur vers ?



Et là tu as simplifié en retirant les . Ok.

J'envoi la suite ^^

pour le 3 j'ai simplificé en haut et en bas par


pour le 4 tu mets tout simplement la valeur de la limite à la place de x

[invite17d84b62]

Voilà la suite...


8-

Au début je voulais garder le terme du plus haut degrès du numérateur et du démominateur, seulement, tend vers et non vers un infini donc tu m'as dit que la règle ne s'applique pas, mais qu'est-ce que je dois faire : est-ce le fameux théorème de l'Hopital ?


9-

J'ai lu qu'il fallait garder un terme commum, je crois, donc ici :



10-

J'ai vu sur un site cette limite à résoudre est c'est compliqué je trouve, que faut-il faire dans un cas pareil ?


11-

Là je ne vois pas ce que je dois calculer, le numérateur : faut-il factoriser ou développer ?


12-

Je crois bien que c'est ça...


13-

Comme pour le 8- tend vers un nombre fini donc je ne sais pas quoi faire...


14-

Idem que pour le 8- et le 13-, tend vers
c'est un nombre fini...


15-
...
J'ai factorisé mais après je ne sais pas la démarche à suivre...

Voilà ^^

[invite17d84b62]

Petite question : Que faut-il faire lorsque l'on tombe sur une forme indéterminée du genre , , ou ?
Est-ce le théorème de l'Hopital qu'il faut appliquer ?

Désolé je pose beaucoup de questions mais si je veux apprendre tous ça j'y suis obligé...

[fiatlux]

Voilà la suite...


8-

Au début je voulais garder le terme du plus haut degrès du numérateur et du démominateur, seulement, tend vers et non vers un infini donc tu m'as dit que la règle ne s'applique pas, mais qu'est-ce que je dois faire : est-ce le fameux théorème de l'Hopital ?


9-

J'ai lu qu'il fallait garder un terme commum, je crois, donc ici :



10-

J'ai vu sur un site cette limite à résoudre est c'est compliqué je trouve, que faut-il faire dans un cas pareil ?


11-

Là je ne vois pas ce que je dois calculer, le numérateur : faut-il factoriser ou développer ?


12-

Je crois bien que c'est ça...


13-

Comme pour le 8- tend vers un nombre fini donc je ne sais pas quoi faire...


14-

Idem que pour le 8- et le 13-, tend vers
c'est un nombre fini...


15-
...
J'ai factorisé mais après je ne sais pas la démarche à suivre...

Voilà ^^

8- c'est comme pour le 4.
9- la réponse est 1 car 1/n , lorsque n tend vers l'infini, tend vers 0. (un nombre divisé par l'infini donne zéro). Donc les termes en 1/n en haut et en bas peuvent être ignorés.

10- la racine carrée , c'est la puissance 1/2 donc t'as x + x^(1/2) donc la limite c'est la même que la limite pour x tout seul donc c'est l'infini

11. tu développes, tu gardes les plus haut degrés, t'as x^2 au numérateur et 3x^3 au dénominateur. c'est le meême cas que le 3.

12.juste
13.c'est pareil qu'au 4. Le numérateur tend vers un nombre fini (-2) et le dénom vers 0 donc un nombre fini divisé par 0 donne l'infini.

14.idem que le 13. Le numérateur tend vers 9, le dénom vers 0, donc limite est infinie.

15.inutile de factoriser. c'est un simple polynôme de degré 3. Garde le plus haut degré (la règle s'applique puisque ça tend vers l'infini).

[fiatlux]

Petite question : Que faut-il faire lorsque l'on tombe sur une forme indéterminée du genre , , ou ?
Est-ce le théorème de l'Hopital qu'il faut appliquer ?

Désolé je pose beaucoup de questions mais si je veux apprendre tous ça j'y suis obligé...

oui c'est le théorème de l'Hospital. Mais il faut savoir dériver pour l'utiliser...