[TS+] Sommes et trigonométrie.

[invitec317278e]

?
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[invite9a322bed]

Je ne comprends toujours pas l'utilité que p soit premier, tu as utilisé cette propriété Thorin ?

[invitec317278e]

non mais ça se trouve j'ai faux^^

[invite9a322bed]

Ouai le fait que p soit premier me rapelle à la formule de Legendre, mais je sais pas l'exploiter....

[invitec317278e]

en fait, si, p premier sert^^

[bubulle_01]

Nop j'ai dit une connerie ... ^^
Je corrige mon raisonnement.

[invitef1b93a42]

C'est ça Thorin, comment as-tu fais ?

[invitec317278e]

on utilise :

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[Seirios]

Quand te serts-tu de l'hypothèse "p premier" ?

[invitec317278e]

ça sert à dire que

[Seirios]

Effectivement, j'étais passé à côté de ce détail

[invite9a322bed]

Quelqu'un peut écrire la démo complète ?

[Seirios]

Je te mets les grandes lignes : tu écris ; ensuite tu développes, et tu obtiens , avec P(k) une somme d'entier que tu peux sortir de la partie entière. Comme l'a dit Thorin, tu utilises le fait que p est premier pour dire que (l'égalité repose sur le fait que n'est pas divisible par p) ; finalement, tu obtiens quelque chose comme .

[invite899aa2b3]

Trois petits problèmes, si ça vous intéresse...

1) Existe-t-il une application bijective telle que ?



Il est intéressant de découvrir plusieurs approches, parfois des simples, parfois des originales ; c'est ce qui fait la beauté des mathématiques.

Bonjour.
On peut montrer que la suite des somme partielle n'est pas de Cauchy pour toute bijection .

[bubulle_01]

Pour l'exo d'Universus :
D'après l'inégalité du réordonnement, la suite des inverses des carrés étant décroissante, la somme est minimale lorsque est croissante. est donc strictement croissante et bijective de dans .
On montre facilement par récurrence qu'alors et donc la somme diverge (série harmonique).
On a minoré la somme par une série qui diverge (vers l'infini positif) , donc la somme diverge elle aussi.
Une telle fonction n'existe donc pas.

[Universus]

Merci pour vos deux réponses ; elles m'ont permis d'apprendre des concepts qui répondent plus précisément à la non existence d'une telle fonction et qui correspondent aux idées qui m'étaient venues. C'est super!

[Universus]

2) Lequel est le plus grand? 2009 ou ?

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Plus généralement, on cherche à évaluer la somme . L'expression dans la racine se simplifie en . Ainsi, la sommation se simplifie encore davantage et on obtient quelque chose de bien plus évident à évaluer comme somme. Au final, on se rend compte que la sommation jusqu'à n est toujours un peu plus petite que n+1. Ainsi, pour n=2008, la sommation est un peu plus petite que 2009.

[Seirios]

Voici quelques sommes que j'ai trouvées dans un sujet de khôlle :

Calculer :









Pour les deux premières, j'aimerais surtout voir comment vous procédez :

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Pour la première, je suis passé par une double somme pour que l'on ne somme plus que des k, puis j'ai développé et simplifié ; pour la deuxième, j'ai écrit , puis j'ai développé, et en connaissant le résultat de la somme des k², l'on retombe sur le bon résultat.

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Pour la dernière, j'ai quelques problèmes ; je sais qu'il faut utiliser l'identité de Vandermonde, mais je n'arrive pas à la retrouver : Si je retranscris l'égalité avec le binôme de Newton, on obtient , puis j'essaie de l'écrire une forme telle que je puisse faire une identification des coefficients d'un polynôme, mais j'ai quelques difficultés ; un petit indice ?

[Seirios]

J'oubliais celle-ci :



Pour celle-là, je n'ai pas réussi à l'exprimer autrement que sous la forme d'une partie réelle d'un complexe.

[invitec317278e]

pour la somme des k^3, on peut aussi passer par une double somme, il me semble. Peut être aussi utiliser les dérivées. On peut aussi chercher la somme comme polynôme de degré 4 fonction de n, et en utilisant P(n+1)-P(n)=n^3, je pense.

Bref, multitude de démos.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit...de_Vandermonde
Pour celle que tu n'arrives pas à passer en réel : en théorie, même si c'est moche en réel, tu es censé au moins réussir à l'écrire : si c'est une somme, facile, si c'est un quotient, on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur.

[Seirios]

Pour celle que tu n'arrives pas à passer en réel : en théorie, même si c'est moche en réel, tu es censé au moins réussir à l'écrire : si c'est une somme, facile, si c'est un quotient, on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur.

Ici j'ai n produits ; j'ai trouvé comme résultat .

[invitec317278e]

on cherche a exprimer cos(x)+e^{ix}
ca a comme argument tan(x)/2, et comme module sqrt(4cos²(x)+sin²(x)), on élève ça a la puissance n, et on en extrait facilement la partie entière, moche.

[Seirios]

pour la somme des k^3, on peut aussi passer par une double somme, il me semble. Peut être aussi utiliser les dérivées. On peut aussi chercher la somme comme polynôme de degré 4 fonction de n, et en utilisant P(n+1)-P(n)=n^3, je pense.

Bref, multitude de démos.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Identit...de_Vandermonde
Pour celle que tu n'arrives pas à passer en réel : en théorie, même si c'est moche en réel, tu es censé au moins réussir à l'écrire : si c'est une somme, facile, si c'est un quotient, on multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur.

Dans l'article de wikipédia, je ne vois pas pourquoi :

[invite890931c6]

Pour ma part j'aurais procédé ainsi :

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d'où .

soit
en développant :



soit

méthode similaire pour : quoique la longueur du développement tend avec la grandeur de l'exposant !

[invitec317278e]

Phys2 : cette formule doit être valable avec la convention implicite que les sont nuls quand on dépasse n, et les sont nuls quand on dépasse m.

Et sinon, pour voir d'où vient la formule....bah on se contente de développer le membre de gauche, en se demandant "quel est le coef de ?" et en répondant "bah c'est la somme des produits des et tels que "
Après, si tu veux une vraie preuve : récurrence.

[Seirios]

Pour ma part j'aurais procédé ainsi :

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d'où .

soit
en développant :



soit

Je retiens la méthode !

Phys2 : cette formule doit être valable avec la convention implicite que les sont nuls quand on dépasse n, et les sont nuls quand on dépasse m.

Et sinon, pour voir d'où vient la formule....bah on se contente de développer le membre de gauche, en se demandant "quel est le coef de ?" et en répondant "bah c'est la somme des produits des et tels que "

Merci

[Seirios]

Pour ma part j'aurais procédé ainsi :

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d'où .

soit
en développant :



soit

méthode similaire pour : quoique la longueur du développement tend avec la grandeur de l'exposant !

Une autre méthode :

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En montrant que , les sommes des k, k² et k³ se retrouvent en posant q=1, q=2 puis q=3.

[invitef1b93a42]

Je up le topic pour savoir si vous auriez d'autres petites sommes à me mettre sous la dent Merci !

[Seirios]

Je peux te proposer celle-ci : En notant la racine n-ième de l'unité, calculer .

[invitebe08d051]

Salut tout le monde, enfin de retour des vacances !!!! J'ai jamais fait attention à ce sujet pourtant aussi important!!

Pour la somme proposée par Phys2, ça revient à calculer:

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Cordialement

M