[TS+] Sommes et trigonométrie.

[Seirios]

Malheureusement, la série diverge...

Simple remarque : on peut le montrer rapidement par le théorème des accroissements finis.

(égalité intéressante à ce sujet : où est la constante d'Euler)

Pourquoi le 1 dans o(1) ?
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[invitec317278e]

parce que c'est une fonction qui tend vers 0 à l'infini.

[Seirios]

D'accord, mais quel rapport à le 1 ? C'est une convention dans la notation ?

[invite9a322bed]

c'est un developemment limité !

(Oui enfaite c'était la première question ^^)

[invitec317278e]

D'accord, mais quel rapport à le 1 ? C'est une convention dans la notation ?

oui, c'est une convention, on note lorsque
avec epsilon une suite tendant vers 0

le "petit o" n'est pas une fonction, c'est un moyen de comparer 2 fonctions

[Seirios]

D'accord, je prenais cela pour une fonction...Je vais aller feuilleter mon cours d'analyse.

[Seirios]

il suffit que soit bornée.
(si a_n est bornée, et que a_n/b_n existe et tend vers 1, alors, le quotient des exp aussi)

Un exercice d'application :

1. Montrer que si , alors .
2. Soit a un réel. Déterminer la limite de .


Je propose une solution, pour voir si ma rédaction est correcte :

 Cliquez pour afficher

1. Comme , on peut écrire .
2. Si a=0, il est immédiat que la limite vaut . Si , . Or , que l'on définit ici par , est bornée, puisque convergente vers 0, donc .
Donc , et quelque soit a.

(Evidemment, les équivalences sont ici toutes en )

Bien sûr, l'on aurait pu écrire , et la conclusion était immédiate.

[invitec317278e]

Tu écris :

Or , que l'on définit ici par , est bornée, puisque convergente vers 0, donc .
Donc , et quelque soit a.

Donc si je te lis bien, tu prends une équivalence, puis tu l'élèves à la puissance n. Or n n'est pas une constante. Autrement dit, tu affirmes que si tend vers 1, la puissance du quotient aussi.
Autrement dit, tu affirmes que si une suite tend vers 1, aussi

Ici, si tu veux procéder avec les équivalents, il vaudrait mieux dire que est bornée et équivalente à ( n est équivalent à n et u_n équivalent à ln(1+a/n) ), donc, on compose par l'exponentielle, d'où le résultat.

Parce que tel que tu l'as écrit, on aurait aussi pu écrire :
équivalent à 1(ce qui est vrai), donc équivalent à 1

[invitec317278e]

Une remarque au passage : le fait que l'on puisse composer par l'exponentielle dans le cas de suites bornées est vrai, mais c'est pas, à ma connaissance, du cours. C'est juste que quand on s'interroge sur les conditions de composition, on tombe rapidement sur cette condition suffisante simple.

[Seirios]

Donc si je te lis bien, tu prends une équivalence, puis tu l'élèves à la puissance n. Or n n'est pas une constante. Autrement dit, tu affirmes que si tend vers 1, la puissance du quotient aussi.
Autrement dit, tu affirmes que si une suite tend vers 1, aussi

Ici, si tu veux procéder avec les équivalents, il vaudrait mieux dire que est bornée et équivalente à ( n est équivalent à n et u_n équivalent à ln(1+a/n) ), donc, on compose par l'exponentielle, d'où le résultat.

Parce que tel que tu l'as écrit, on aurait aussi pu écrire :
équivalent à 1(ce qui est vrai), donc équivalent à 1

Finalement j'évite de faire une erreur pour la faire un peu plus loin Merci pour ta correction.

[Universus]

Pour ton troisième exo, c'est un pti classique avec e^pi et pi^e ^^ Je ne sais pourquoi t'as choisie un 3 c'est moins jolie ! (En gros pour le résoudre, j'ai procédé par une méthode analytique, j'ai posé une fonction, et étude de variations).

Classique en France peut-être En fait, je vais chercher mes questions dans une préparation à un concours nord-américain, alors ce n'est pas moi qui décide des énoncés ^^Pourrais-tu alors m'indiquer plus explicitement comment tu as procédé (j'imagine néanmoins qu'il n'y a pas qu'une seule fonction qui fonctionne)? J'ai procédé de différentes façons, l'une d'elle étant :

 Cliquez pour afficher

Autrement pour la 1, on a que ''est de l'ordre de'' , p étant un réel qui peut dépendre de n (cela dépend de f). Néanmoins, pour que la série converge, il faut le p soit ''en moyenne'' (je définie pas les choses très rigoureusement, mais ça donne une idée) supérieur à 1. f(n) = n ne fonctionne pas pour la raison qu'on retrouve la série harmonique. f(n) = n-1 ne fonctionne pas plus, la série devenant la série harmonique moins la série-p avec p=2.

[invite9a322bed]

J'ai remarqué Universus (je crois que les autres aussi) que tu es un fan des réponses longues et compliquées (Enfin, incompréhensible niveau TS, avec les gamma, les epsilons et compagnie) !

Voici une solution (pas la mienne) : page 16 exo 9

http://pagesperso-orange.fr/gilles.c...xoRexpln03.pdf

Pour la mienne, je l'ai perdu (et pas envie d'y réfléchir encore), je l'ai déja envoyé à Phys2 y a quelques semaines ^^ (Phys2 regarde ta boite de reception plz ^^ ) ! (En gros on pose une fonction f(x)=machin, on fait la dérivée, on remarque qu'elle est postifive ou négative dans un intervalle, et en sachant que pi=3,14... ou e=2.74.. on conclut.)

Pour ta troisème réponse, je comprend pas non plus, la seule fonction bijective de N -> N est bien f(n)=n ! Et donc ca revient à calculer la somme de 1/n

[Seirios]

Pour ta troisème réponse, je comprend pas non plus, la seule fonction bijective de N -> N est bien f(n)=n ! Et donc ca revient à calculer la somme de 1/n

Mais tu as , donc cela ne répond pas à la condition.

Pour la mienne, je l'ai perdu (et pas envie d'y réfléchir encore), je l'ai déja envoyé à Phys2 y a quelques semaines ^^ (Phys2 regarde ta boite de reception plz ^^ ) !

Je vais voir

[invitec317278e]

Mx6 : effectivement la solution proposée par universus est au dessus du niveau TS.

Ceci dit, tu peux toujours faire cet exo, et tu seras à même de comprendre sa méthode :

montrer que quelque soit x réel, n entier naturel, on a :



il utilise cet inégalité, pour n=3

Au passage, f(n)=n n'est pas du tout la seule bijection de N dans N. ne pas confondre bijection et bijection croissante.

[Seirios]

Pour la mienne, je l'ai perdu (et pas envie d'y réfléchir encore), je l'ai déja envoyé à Phys2 y a quelques semaines ^^ (Phys2 regarde ta boite de reception plz ^^ ) !

Tu as de la chance, je n'avais pas encore supprimé ton message :

On a

Donc

Etudions la fonction . Nous allons l'étudier dans .
Nous trouvons que la dérivée est . Il est facile de trouver le signe de la dérivé ect...

On trouve enfin que cette fonction est négative, et s'annule en . Et comme .

Le rapport . CQFD !

[invite9a322bed]

Thorin, je vois mal une bijection décroissante de N-> N , un exemple plz -je reviens dans 2h)


Merci Phys2^^

[invitec317278e]

il n'y a pas que la croissance et la décroissance, dans la ptite vie des fonctions.

Par exemple la fonction qui fait
1 ; 0 ; 3 ; 2 ; 5 ; 4 ; 7 ; 6 ...

[invite9a322bed]

Oui dans N c'est différent , en effet, je me suis fait avoir

[Universus]

J'ai remarqué Universus (je crois que les autres aussi) que tu es un fan des réponses longues et compliquées (Enfin, incompréhensible niveau TS, avec les gamma, les epsilons et compagnie) !

Ah... désolé... quand je lis des trucs ici, c'est moi qui trouve ça compliqué parfois XD Le plus que j'ai fait à l'école sur les suites, c'est des trucs du genre ''déterminer la suite qui peut donner ces premiers termes...'' ou 'déterminer la convergence de suite simple''. Je n'ai jamais vraiment appris tous ces théorèmes d'analyse que vous connaissez, je peux procédé par des méthodes de comparaison de fonctions, mais ce n'est pas une habitude. J'ai beaucoup appris par internet ou en cherchant moi-même et, malheureusement, il faut croire que les gens ont tendance à donner pour solutions des choses au-dessus du niveau TS (dont je commence à connaître le niveau de plus en plus...). Alors désolé si c'est incompréhensible et à la fois trop long, mais c'est ce genre de raisonnement que je connais le mieux et, après tout, pour des raisonnements niveau TS, vous valez tous mieux que moi, alors pourquoi participer à vos exos (qui m'intéresse bien ) si c'est pour faire comme tout le monde :P Enfin, désolé... sinon les gammas et tout, ce n'est que parce que je trouve ça jolie

Autrement, pour voir que , dérivez des deux côtés et voyez que l'égalité tiens toujours, comme prévu..... (belle justification que j'ai déjà vue....)

[invite9a322bed]

Ah oki Universus, moi qui pensait que les maths étaient universelle (c'est quoi tes études pour comprendre un peu ton cas^^) . Sinon pour la démonstration de cette somme tu peux détaillé, je vois que quand je dérivé elle tiens toujours, mais comment déduire la démonstration ? Voilà merci !

Je vous dis à demain les amis ! bonne nuit !

[Universus]

Bah, je parle peut-être souvent de mes études (en fait, je me la fais facile en jetant tout le temps mon incompréhension à mon éducation c'est sûr que je ne suis pas un Riemann qui se rappelle d'un livre complet de Legendre (si je ne me trompe) après l'avoir emprunté et lu en une semaine, mais quand même ^^). Je suis Québécois, un cousin d'outre-mer (qui ne chasse pas le cerf ). Les systèmes d'éducation semblent différents sur plusieurs sujets, et pour avoir connu des immigrés français (émigrés pour vous) , il est possible de passer du système d'éducation français à celui québécois, mais difficilement de faire l'inverse. Il paraît qu'on se rattrape au niveau des études universitaires, mais j'ai bien hâte de voir ça... Enfin, je n'ai pas fait d'arithmétique depuis au moins 6 ans (je n'avais jamais entendu parlé de modulo avant de lire les postes de ce forum), les théorèmes à propos de bijections et tout non plus, j'ai passé rapidement l'an passé sur les suites pour aller étudier les séries, mais c'est quand même relativement peu. À âge égal, vous êtes plus avancés que nous ne le sommes, d'où le fait que j'utilise parfois des outils que j'ai appris dans les mêmes cours que ceux où j'ai appris d'autres notions que vous connaissez. Autrement, il y a plusieurs choses que j'ai apprises sur internet et avec mes propres ''recherches''. On a pas de travaux ici du type exo, qui me semble être des devoirs (peut-être un peu plus qu'un devoir) sur des notions parfois difficiles, mais on semble vous guider d'une étape à l'autre et utiliser les théorèmes de façon assez rigoureuse. Ici, c'est plutôt ''voici un livre qu'on vous fait acheter, faites les numéros de ça à ça (qui consiste souvent à utiliser une unique méthode, alors on trouve ou on trouve pas...) et voilà. Le niveau de rigueur requis n'est pas énorme en général, les travaux étant évalué sur 100 et la note de passage étant 60 (un ami français m'avait dit que s'il avait 10/20 en France, sa mère le félicitait, mais lui faisait la vie dure s'il avait en bas de 80% à un examen d'ici, alors je me dis que...)

Enfin, assez parlé de ça, tout ça pour dire que j'aime bien participer à vos exos, ça m'exerce et tout et je ne veux pas sortir du niveau indiqué par le forum, mais en même temps j'imagine qu'on apprend (même si je ne suis pas la référence pour s'instruire ^^ ).

L'idée la plus générale de ce que j'ai utilisé est l'idée de polynôme de Taylor. Un polynôme de Taylor d'une fonction évaluée en (élément de l'intervalle de définition de f) est de la forme . Sans entrer dans les détails non plus et les idées d'approximation et de reste, on a aussi les séries de Taylor qui s'obtiennent en prenant la limite pour n tendant vers l'infini de la formule précédente.

On peut démontrer que, dépendant souvent du choisi, la série de Taylor d'une fonction infiniment dérivable est égale à pour un certain intervalle de convergence autour de a. Cela est fort pratique pour plusieurs problèmes tant d'analyse que pour approximer des fonctions et effectuer plus facilement des calculs.

Si tu prends autout de x=0 (a=0), tu obtiens que . On a donc aussi une expression de sous forme de série si x=1. Vu aussi que tous les termes sont positifs, enlever n'importe quel ensemble de terme de cette série te donne un résultat inférieur à . C'est comme ça que je justifies la première inégalité, qui doit être plus petite que vu que j'ai retranché des termes à la série. Le reste de ma démonstration ne fait pas appel à cette notion de série de Taylor.

Néanmoins, j'ai déjà lu que est égale à cette série simplement parce que la dérivée de donne encore , tout comme la dérivée de la série donne aussi la même série. On justifiait ainsi l'égalité entre les deux...

Sinon, il est possible de déterminer la limite pour n grand de (répondre au problème de Phys2) et aussi retrouver la série de Taylor de la fonction tout ça en même temps avec des outils que vous connaissez. Néanmoins on n'utilise pas la partie 1 de l'exo de Phys2 :

On sait que converge, on peut appeler la valeur de cette limite , comme ça, pour le plaisir.

Posons-nous la question pour (on pourrait le faire pour les réels aussi comme le demande Phys2, ce n'est pas plus difficile, mais il faut juste se refaire une interprétation en quelque sorte des outils qu'on utilisera). En utilisant le binôme de Newton pour chacun, que valent :

et ?

[invitec317278e]

Mx6,
tu peux montrer cette formule :

par récurrence.
tu peux ensuite montrer que l'intégrale tend vers 0, en utilisant l'inéglité de la moyenne version prépa, et le fait que a^n/n! tend vers 0

[invite9a322bed]

Par reccurence sur n ?
Un lien pour l'inégalité de la moyenne version prépas ?

[invitec317278e]

par récurrence sur n, oui.
inégalité de la moyenne : http://mpsiddl.free.fr/pdf/coursup/bristol20.pdf c'est au II. 3° d) page3.

[Seirios]

tu peux montrer cette formule :

par récurrence.
tu peux ensuite montrer que l'intégrale tend vers 0, en utilisant l'inéglité de la moyenne version prépa, et le fait que a^n/n! tend vers 0

Si j'appelle l'expression, on trouve facilement que . Ensuite, on suppose que et l'on écrit grâce à une IPP : ; or , d'où .

Ensuite, par "l'inégalité de la moyenne version prépa" () : .

On a donc bien ; cela dit, l'expression de départ semble un peu parachutée, y a-t-il une justification de la forme ?

[invite9a322bed]

ok merci, ca me révolte qu'il mettent l'inégalité de Cauchy Schwarz, pourquoi ne pas generaliser avec l'inégalité de Holder...... !!!

(sinon question HS, tu as réussi Thorin a faire le sujet ENS 2007 sur l'arithmétique ? Je cherche un corrigé..)

[invitec317278e]

Phys2 : c'est l'application a la fonction exp de la formule de taylor avec reste intégral : http://fr.wikipedia.org/wiki/Formule_de_Taylor
très parachutée, je suis d'accord

Mx6 : l'inégalité de cauchy schwarz a en algèbre linéaire une signification générale, alors que Holder, beaucoup moins.
Et je ne m'entraine pas à faire des sujets de l'ens

[invitef1b93a42]

Calculer : , avec . ( désignant la partie entière de .)

[invite9a322bed]

Calculer : , avec . ( désignant la partie entière de .)

C'est ça : ?

[invitef1b93a42]

Non ce n'est pas ça...