[TS+] Sommes et trigonométrie.

[Thorin]

maintenant, si tu veux réfléchir un peu, tente de trouver une condition nécessaire et suffisante sur a_n et b_n, 2 suites telles que leur quotient tende vers 1, pour que exp(a_n)/exp(b_n) tend vers 1.
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[Thorin]

j'ai écrit trop rapidement parce que j'avais un truc à faire, c'est juste une condition suffisante sur les suites, qu'il faut.

[mx6]

Il n'y a pas de conditions. Ca marche tout le temps non ?

[Universus]

Il me semble que le simple fait que a_n soit équivalent à b_n suffit, vu que cela implique que a_n - b_n tend vers 0, donc exp(a_n-b_n) tend vers 1?

Grillé ^^

[Thorin]

a_n soit équivalent à b_n suffit, vu que cela implique que a_n - b_n tend vers 0

ça reste à prouver !!!!

c'est tellement faux que je peux vous trouver 2 suites équivalentes telles que l'écart reste constant et égal à

D'ailleurs, si ce que vous écriviez était vrai, alors, la réciproque dont parlait mx6 tout à l'heure serait vraie.

[mx6]

Bah déja une condition la limite ne doit pas être - l'infinie !

[Thorin]

ça, c'est faux aussi : si on prend , ça marche.

et si tu veux un exemple moins trivial, je prends :

[mx6]

Soit et .
Il est clair que la limite du quotient est 1. Mais la limite de e^a_n/e^b_n = e^(k/k') différent de 1 .

En gros, il faut pas que ; cte différente de 0

[Thorin]

ça, c'est vrai, si constante est différente de 0.
mais ça, c'est une condition nécessaire sur les suites, pas une condition suffisante

[mx6]

Je donne ma langue au chat...

[Thorin]

il suffit que soit bornée.
(si a_n est bornée, et que a_n/b_n existe et tend vers 1, alors, le quotient des exp aussi)

[mx6]

a_n=n et b_n=n + \frac{1}{n} . Il sont pas bornée, tout de même ca marche !

[Thorin]

sais tu ce qu'est une condition suffisante pour quelque chose?

[VegeTal]

En clair si elles sont bornées, ça marche, si elles ne le sont pas ça peut quand même marcher !

Il suffit qu'elles soient bornées pour que ça marche, mais rien ne dit que le fait qu'elles ne le soient pas implique nécessairement que cela ne marche pas.

[Universus]

ça reste à prouver !!!!

Oui, tu as bien raison ; j'ai pris le quotient au sens d'une égalité stricte à l'infini, mais tu as raison : les suites n et n-c où c est une constante sont le parfait exemple. Merci du rappel à l'ordre

[mx6]

Disons que je ne savais ce que c'était "une condition suffisante" j'ai confondu avec condition nécessaire et unique Sinon c'est pas mal comme exo !
T'as résolu cette question Thorin par une démo ou intuitivement ? Si c'est par démo, j'aimerai bien la voir =)

[Thorin]

bah il suffit d'écrire que :

comme tend vers 1, tend vers 0.
donc il suffit que ne prenne pas des trop grandes valeurs, comme ça le produit reste proche de 0. a_n qui ne prend pas de très grandes valeurs, c'est par exemple bornée....

[mx6]

Ok thx, et tu met pas de conditions sur b_n. Car automatiquement si a_n est bornée, b_n l'est aussi ?

[Thorin]

ouaip c'est ça

[Seirios]

Voilà quelques sommes à calculer, pour votre plaisir !

- avec .









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Amusez vous bien

Une somme à calculer dans le même ordre d'idée : (immédiate lorsque l'on a vu les astuces de cette discussion).

[Thorin]

mettre des complexes quand on voit du cos et du sin, et chercher le binome de newton quand on voit les k parmi n, c'est pas des astuces, hein, c'est des techniques classiques qu'il faut maitriser

[mx6]

Oui, tout est classique chez Thorin ! J'espère voir ton nom dans les admis normale ulm 2010 :d !

[Thorin]

nan, loin de là, mais tu n'imagines pas le nombres d'exos que le prof des mp* de mon lycée estime classique. doit yen avoir quelques centaines. Moi jsuis qu'en Mp normale alors jm'en fous, on vise que CCP, mais il fait peur, ce prof^^

Mais sérieusement, on nous apprend à penser aux complexes dès qu'il y a du cos ou du sin, et au binome de newton dès qu'on voit des combinaisons.
en début de sup, jme suis fait engueuler par un colleur parce j'avais pas pensé au binome de newton dans un truc du genre^^

[mx6]

Mais je pige pas Thorin, tu m'as l'air très bon en maths, pourtant t'es pas en mp star......Ils sont plus forts que toi les mp star ? Ou bien c'est toi qui glande en cours, et cache ton talent ? ^^

[Thorin]

a priori les mp* sont pas meilleurs que moi en général, mais je me sentais faible en physique en sup', et jme suis dit que je préférais aller dans une classe moins dure, où je pourrais rattraper mes déficiences de sup'. Mais bon, forcément, on n'est formé qu'a des trucs genre e3a et CCP, ce qui est défavorisant au concours des mines ou de centrale^^

[Universus]

Trois petits problèmes, si ça vous intéresse...

1) Existe-t-il une application bijective telle que ?

2) Lequel est le plus grand? 2009 ou ?

3) Lequel est le plus grand? ou ?

Il est intéressant de découvrir plusieurs approches, parfois des simples, parfois des originales ; c'est ce qui fait la beauté des mathématiques.

[mx6]

Pour ton troisième exo, c'est un pti classique avec e^pi et pi^e ^^ Je ne sais pourquoi t'as choisie un 3 c'est moins jolie ! (En gros pour le résoudre, j'ai procédé par une méthode analytique, j'ai posé une fonction, et étude de variations).

Ok Thorin, mais comme la tu fais 5/2, t'as pas le droit de devenir star ? o_O

[mx6]

Deuxième question :

 Cliquez pour afficher

On démontre que la seule fonction bijective de N à N, est bien la fonction identité : f(n)=n. CQFD

[Seirios]

Deuxième question :

 Cliquez pour afficher

On démontre que la seule fonction bijective de N à N, est bien la fonction identité : f(n)=n. CQFD

C'est une réponse pour la première question de Universus ?

[Romain-des-Bois]

Malheureusement, la série diverge...

(égalité intéressante à ce sujet : où est la constante d'Euler)