[TS+] Sommes et trigonométrie.

[invite9a322bed]

Merci ! Je n'ai jamais fait des exos de ce type. Pourras tu me donné un exemple de réponse ?

Un équivalent de celle ci :
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[invitec317278e]

guère de méthode générale pour trouver un équivalent, si ce n'est les développements limités.

ici, on peut écrire

puis prouver que est équivalent

[invite890931c6]

?

[invitec317278e]

non, vegetal, pour que ce soit un équivalent, faut prendre car avec ton , c'est qui tend vers 1.


mais de toute façon, l'intéret des équivalent est souvent de simplifier les calculs, donc on essaie de trouver un équivalent simple

[invite9a322bed]

Mais tend vers 0 et non pas vers 1 !

La réponse finale c'est quoi ? o_O

[invitec317278e]

la réponse finale, c'est car :
est équivalent à 1/2n
et car les équivalents se multiplient

[invite9a322bed]

est équivalent à 1/2n

Ca sort d'où ?

[invitec317278e]

de manière simple, du développement limité de rac(1+x) en 0

[invite9a322bed]

Ok je crois que je dois laisser tombé, je n'ai pas étudié le DL ^^

[invitec317278e]

sinon, suffit de montrer que le quotient de 1/2n et de ça tend vers 1, ce qui se fait aussi facilement avec les moyens de terminale.

[invite9a322bed]

sinon, suffit de montrer que le quotient de 1/2n et de ça tend vers 1, ce qui se fait aussi facilement avec les moyens de terminale.

Effectivement, mais ça donne un air de "parachutage". Enfin deviner tout seul le 1/2n n'est pas évident.

[invitec317278e]

parachuté, parachuté...

même sans connaitre la théorie générale sur les développements limités, tu en sais déjà bien assez :

trouver un équivalent de , ca veut dire trouver une fonction simple qui est très proche de quand x tend vers 0 (en posant x=1/n, on a x tend vers 0 quand n tend vers l'infini), ça, c'est intuitif.


la question est : quelle fonction simple est très proche de en 0 ?

[invite9a322bed]

Bah la fonction constante f=0 ?

[invitec317278e]

oui mais la suite nulle, c'est pas un équivalent. 0 n'est jamais un équivalent, pour une suite ou une fonction qui n'est pas nulle a partir d'un rang ou sur un segment. Et surtout, on aimerais approcher la fonction par quelque chose qui est simple, mais n'est pas constant.

[invite9a322bed]

Tout simplement la fonction identité ?

[invitec317278e]

non, la tangente à la courbe en 0 !

[invite9a322bed]

non, la tangente à la courbe en 0 !

Je ne comprend pas Chaque chose dans son temps ^^

[invitec317278e]

on cherche une fonction qui est localement très proche de notre truc à nous. la tangente est idéale !

[invite890931c6]

c'est à dire une approximation affine.

[invite9a322bed]

Oki je comprend mieux ainsi ! Et pour les fonctions qui ne sont pas définies en 0 par exemple ?

[invitec317278e]

donne un exemple concret de suite dont tu voudrais un équivalent et étant dans ce cas. Je n'aime pas faire de règles générales sur ce genre de méthodes.

[invite9a322bed]

Ok for example :

Question HS : Deux suites adjacentes sont donc équivalentes ?

[invitec317278e]

est équivalent à

réponse HS : à condition que le L de la limite commune ne soit pas 0, oui.

[invite9a322bed]

.
Et comme alors c'est équivalent à ?

C'est ça la justification ?

Sinon, j'arrive pas à faire celle que t'a donné en exemple sur le

[invitec317278e]

effetivement, tu peux procéder en exhibant la suite qui tend vers 1.

mais il est plus simple, quand tu as des suites qui ne s'annulent pas, d'examiner le quotient de la suite et de l'équivalent supposé, et regarder si ça tend vers 1

pour le cos(1/n), ça tient essentiellement du fait que (1-cos(x))/x² tend vers 1/2 en 0.

en effet, on a alors que (1-cos(x))/x² est équivalent à 1/2 en 0
on multiplie par x², ça donne que 1-cos(x) est équivalent à x²/2
puis on montre qu'on peut passer le 1 de l'autre côté.

[invite9a322bed]

Ok merci !

Je vous propose alors un exercice pour faire diversion ^^ !

Démontrer que si , il en est de même pour . Le réciproque est elle vraie ?

[invitec317278e]

sauf que ce que tu écris est faux.

[invite9a322bed]

Oui j'ai oublié de précisier que et sont des suites à valeurs strictement positives tendant vers . Même question pour des suites tendant vers .
Ces énoncés admettent ils des réciproques ?

(Là l'énoncé est juste )

[invitec317278e]

NB : ca marche aussi si elles tendent vers un réel différent de 1.

Quant à la réciproque, ça revient en gros à s'interroger sur le droit de passer de l'équivalence de a_ et b_n à l'équivalence de exp(a_n) et exp(b_n), cherche.

[invite9a322bed]

Les réciproques sont fausses.

Contre exemple :

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