[TS+] Sommes et trigonométrie.

[mx6]

Aghhhh

Une erreur s'est glissé , c'est bien :
-----

[Universus]

Pour la question, je suis perplexe : par une méthode, ça converge, pas une autre ça diverge... Évidemment que j'ai fait une erreur dans (au moins) l'une des deux méthodes, mais en voici une :

 Cliquez pour afficher

Or

Où on a utilisé l'identité et la propriété des logarithmes à transformer une somme en produit d'arguments. Cette inégalité tient parfaitement pour .

Il s'ensuit que qui diverge. Ainsi diverge aussi et donc aussi pour très grand.

[bubulle_01]

Bonsoir,

En passant par les logarithmes ca marche oui.
Cependant je pense avoir plus simple.
Clairement, pour et on a
Ainsi,
On note pour allant de à .
On a et donc
Ainsi .
De cette manière, et donc diverge.

[Universus]

Plus arithmétique comme méthode, j'aime bien ^^ Néanmoins, la méthode que j'ai utilisée m'a fait pensé à une autre méthode plus poussée permettant de ne pas passer on dirait pas des inégalités. Seulement, il faut croire que cette méthode est trop poussée pour moi vu que j'obtiens que ça converge Il ne s'agit néanmoins pas de la même méthode ''de convergence'' disons que celle dont je parle dans mon post précédent, cette dernière étant une comparaison directe de deux termes consécutifs de la suite . Belle méthode encore, félicitation ^^

[Universus]

J'ai trouvé mon erreur dans la méthode qui m'est venue à l'esprit après ma première démonstration. Elle est plus complexe, du fait qu'elle fait appel à des notions qui sont abordées au supérieur, mais elle est accessible à plusieurs d'entre vous j'en suis sûr (si je la comprends, avec le bagage que j'aie, il y en a plusieurs matheux ici qui la comprendront aussi!). Elle n'utilise aucune inégalité et en fait elle décrit parfaitement le comportement de la suite pour tout n.

 Cliquez pour afficher

Tout d'abord, utilisons la technique de mon message précédent, c'est-à-dire passer par les logarithmes afin de travailler avec des sommes plutôt que des produits. Ainsi posons :

La fonction logarithme étant strictement croissante sur , si diverge pour les très grands, alors en fait tout autant.

Soit la suite et le couple avec . Définissons à partir de ceci une fonction et une notation qui lui est associée ainsi :

Nous utiliserons deux suites pour : et . Dans la définition précédente, en regardant le membre à l'extrême gauche (dans les autres membres, la notation est conventionnelle), s'il n'y a rien d'écrit à la place de :

- , alors on a
- , alors on a
- , alors on a
- , alors on a

Selon tout ceci, n'est rien d'autre que la fonction zêta de Riemann. , soit le -ième nombre harmonique, la série harmonique (qui est connue pour être divergente) correspondant au cas où .

Considérons pour . On a :

Ainsi :

Ce qui nous intéresse est le cas à la limite, soit :

converge, car il s'agit d'une série alternée dont la valeur absolue du terme général diminue avec jusqu'à devenir nul à la limite des très grands. étant la série harmonique, qui est divergente, on est conclut immédiatement, d'après ce qui a été dit au début, que la est divergente.

[mx6]

Bien joué les gars !

La méthode de bubulle est trop bien, toujours ces petits astuces que tu nours réserves

Moi j'ai fait avec la méthode de Riemann dés qu'on remarque que :

[Universus]

Il y a une erreur dans mon calcul, on devrait plutôt avoir pour l'expression des :



L'erreur étant donc dans le terme 1/n qui devrait être ln(n)/n. Cela n'affecte néanmoins pas le résultat quant à la divergence de la suite.

[Seirios]

 Cliquez pour afficher

Or

Où on a utilisé l'identité et la propriété des logarithmes à transformer une somme en produit d'arguments. Cette inégalité tient parfaitement pour .

Il s'ensuit que qui diverge. Ainsi diverge aussi et donc aussi pour très grand.

Comment justifies-tu : ?

[Thorin]

-ln(x)/x est décroissante pour x "grand".

- donc

donc
on somme ensuite pour k allant de n à 2n...

[Seirios]

Merci Thorin.

[Universus]

Oui, je pensais déjà avoir vu sur le forum des arguments de ce genre, alors je ne me suis pas posé la question et je l'ai utilisé. Une façon (identique à celle de Thorin) de voir la chose est par un graphique de la courbe. Dans notre cas, cette courbe (ln(x)/x) est décroissante à partir de x= 1/e qui est compris entre 1 et 2. Vu que nous étudions la convergence à l'infini, il n'y a pas de problème à considérer seulement les sommes (ou le produit initial) à partir de n=2. Visuellement, on se rend compte que la somme représente l'aire d'un ensemble de rectangles de hauteur individuelle égale à la valeur des ln(k)/k et de largeur 1. Cela est un peu laissé au choix, mais on peut décider que la fonction doit absolument croiser chaque rectangle dans leur coin supérieur gauche, ce qui implique (pour une fonction décroissante sur un certain intervalle, ici large de 1) que l'intégrale de la fonction entre le côté vertical gauche du rectangle et le côté vertical droit du rectangle est inférieur que l'aire du rectangle (on interprète le résultat de l'intégrale comme l'aire sous la courbe) L'inégalité vient de là. Quant aux bornes qui sont quelques peu différentes pour la somme et pour l'intégrale, cela est dû au fait que si nous avons k allant d'une valeur a à une valeur b inclusivement alors, selon l'interprétation géométrique de la somme comme aire, on aura que les rectangles s'étendent sur un intervalle de b+1-a unités. La variable x de l'intégrale n'étant, contrairement à k, pas discrète, pour recouvrir le même intervalle, il faudra que faire l'intégrale pour x allant de a à b+1.

Bref, cela dit mot pour mot ce que Thorin a dit, mais sans dessin c'est pas toujours évident montrer une approche graphique de l'explication ^^

[Thorin]

c'est exactement ça qu'il faut avoir en tête quand on écrit ce que j'ai écrit...mais par contre, faut mieux que ça reste dans la tête
Il est très classique de majorer, minorer, encadrer, des sommes par des intégrales de fonction associées, notamment, c'est utile pour prouver la convergence ou la divergence de séries.

[Universus]

c'est exactement ça qu'il faut avoir en tête quand on écrit ce que j'ai écrit...mais par contre, faut mieux que ça reste dans la tête

Tout à fait ^^ Ma tentative tenait presque de celle à vouloir décrire la beauté d'un arc-en-ciel à un aveugle de naissance : on est plein de bonnes intentions au départ, mais la complexité de la chose nous rattrape et l'explication finie en queue de poisson!

[Thorin]

au passage, une prolongation de cet exercice serait de s'intéresser à approcher ce produit, quand n est grand.

on pourrait donc mettre, en question suivante : trouver un équivalent de la suite, ie une suite telle que le quotient des 2 tende vers 1.

a vue d'oeil, ça a pas l'air bien dur.

Pour finir, un exo spécial pour phys2 qui n'avait pas l'air d'avoir bien compris comment avait fait uiversus : montrer la convergence et trouver la limite de la suite , sans utiliser les sommes de riemann.

[invitef1b93a42]

Je crois que Thorin s'est trompé dans sa notation, il a voulu écrire et non .

[Thorin]

certes

[invitef1b93a42]

 Cliquez pour afficher

Avec les intégrales je trouve .

[Universus]

au passage, une prolongation de cet exercice serait de s'intéresser à approcher ce produit, quand n est grand.

on pourrait donc mettre, en question suivante : trouver un équivalent de la suite, ie une suite telle que le quotient des 2 tende vers 1.

a vue d'oeil, ça a pas l'air bien dur.

À vue d'oeil ce n'est pas bien dur? Moi j'ai la chance d'être tombé sur l'expression en haut de cette page qui, pour n très grand, est asymptotique égale à puisque , ( étant la constante de Euler-Mascheroni - Vive Wolfram Alpha!) et

Mais si ce n'est de ça... Sur ce forum, j'ai appris que la méthode d'exercice française (les exos) n'est pas du tout similaire à celle du Québec, ni même les sujets d'études sont-ils similaires. Alors, j'imagine que je pourrai trouvé une solution ayant l'étoffe de celle à bubulle pour le problème initial, mais pas à vue d'oeil Enfin, pourquoi est-ce que je raconte tout ça moi, c'est sans intérêt.....

[Seirios]

Pour finir, un exo spécial pour phys2 qui n'avait pas l'air d'avoir bien compris comment avait fait uiversus : montrer la convergence et trouver la limite de la suite , sans utiliser les sommes de riemann.

Pour la méthode, montrons que la limite existe.

Tout d'abord, on vérifie que est décroissante (on trouve aisément que pour tout entier naturel n). Ensuite, on écrit : , d'où , soit en sommant . En , , donc converge.

[Thorin]

une fois que t'as fait ça, t'as quasiment fini...en fait, t'aurais pu tout faire d'un coup^^

[Seirios]

Pour le plaisir, on va appliquer une nouvelle fois la méthode : , d'où , soit en sommant . En notant , on prouvé précédemment que S existait et que ; on montre ici que , donc .

[Seirios]

Le résultat reste plus immédiat par une somme de Riemann : , d'où .

[Thorin]

dans ce cas, il suffit de prendre , et ça doit être plus simple sans sommes de Riemann

[Universus]

Avec les sommes de Riemann, en procédant comme Phys2 l'a fait, on obtient qu'à la limite c'est égale à . Ce n'est pas vraiment plus long L'utilité principale je dirais de la méthode par intégrale n'est pas tant de trouver vers quelle valeur une série converge, ce qui est néanmoins possible de déterminer pour certains cas comme on l'a vu, mais vraiment de donner un indicateur assez rapide et simple pour savoir si une série associée à une suite à croissance monotone converge ou non. Par exemple, grâce à cette méthode, il est très facile de montrer que les séries de Riemann (séries-p) convergent si et seulement si (pour p réel) p > 1. Il y a peu d'autres méthodes qui soient aussi simples et si générales afin de déterminer la convergence d'une série-p quelconque, du moins à ma connaissance.

[bubulle_01]

Pour l'équivalent de j'ai ... c'est moche.

[Universus]

Cela est proche du que j'obtiens avec ce que j'ai dit... comment as-tu procédé?

[bubulle_01]

La première parenthèse tend vers et la deuxième vers

Ainsi tend vers 0.
et donc en passant à l'exponentielle, est équivalent à
Au final tu as raison, j'avais oublié le facteur dans l'intégrale.

[Universus]

Merci beaucoup ; je n'avais jamais pensé utiliser les sommes de Riemann de cette façon (ou celles mentionnées à la page précédente, qui reviennent au même) ; c'est très pratique! En plus, en ayant obtenu le résultat et en le comparant avec l'expression de que j'ai donnée, je réponds à ma question (sans Wolfram Alpha ^^) de comment on peut déterminer la valeur de . Merci beaucoup!

[mx6]

C'est quoi la différence entre un équivalent et la limite ? Y a des exercices qui disent donner un équivalent de la suite !

[Thorin]

les suites et sont équivalentes lorsqu'il existe une suite tendant vers 1 telle qu'à partir d'un certain rang,

ca se traduit souvent par tend vers 1 à l'infini.


exemple : est équivalente à