[TS+] Sommes et trigonométrie.

[Seirios]

Le résultat peut certainement être simplifié, mais voici mon calcul :

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En utilisant le binôme de Newton et , on obtient : .

Or , et .

On obtient ainsi :

.

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En utilisant l’écriture , on obtient .

x, montrer que avec désignant la fonction partie entière.

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On peut également raisonner ainsi, raisonnement en partie inspiré du message #4 de Zweig : on pose , avec , d’où la nouvelle égalité à montrer : .

On a , avec le réel . L’on divise alors par k, puisque k est non nul par hypothèse : , avec .

Il est alors immédiat que .

avec min(i,j) le minimum de i et de j.

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On a .

C’est assez surprenant que l’on trouve .

Voici un exercice sympa sur les suites :

Soit un réel strictement positif, et la suite définie par :

( fois le nombre sous les radicaux)

Démontrer que est convergente .

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L’on peut également trouvé un réel x positif tel que , puisqu’alors on trouve en réinjectant l’expression donnant x dans elle-même.

Cette recherche mène la résolution de l’équation , d’où , sachant que l’on élimine une solution par la contrainte x>0.

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[invitec317278e]

Pour , on peut déjà simplifier un minimum en voyant que ton résultat est de la forme "somme d'un complexe et de son conjugué", ce qui s'exprime alors en terme de partie réelle...Ca permet au moins de vérifier que le résultat est bien réel

Pour la double somme du min de i et de j, j'ai donné une explication graphique message #22, expliquant pourquoi ça donne la somme des carrés.

[Seirios]

Pour , on peut déjà simplifier un minimum en voyant que ton résultat est de la forme "somme d'un complexe et de son conjugué", ce qui s'exprime alors en terme de partie réelle...Ca permet au moins de vérifier que le résultat est bien réel

J'essaierai de simplifier le résultat, mais j'ai un problème avec le LaTeX, je ne vois pas les formules Cela devrait passer.

Pour la double somme du min de i et de j, j'ai donné une explication graphique message #22, expliquant pourquoi ça donne la somme des carrés.

Je l'ai manqué ce message, désolé

[invitec317278e]

2 autres remarques sur la somme B_n :
-on pouvait arriver à ton résultat, phys2, plus simplement, en disant :

Edit : d'ailleurs, ca n'a pas l'air de donner le même résultat...

-on doit pouvoir faire le calcul en calculant correctement : , sans passer par les complexes.

[Seirios]

2 autres remarques sur la somme B_n :
-on pouvait arriver à ton résultat, phys2, plus simplement, en disant :

Edit : d'ailleurs, ca n'a pas l'air de donner le même résultat...

Il est possible que j'aie fait une erreur dans mes calculs ; le nombre d'étapes étant bien plus réduit avec cette méthode, le résultat est plus sûr : .

-on doit pouvoir faire le calcul en calculant correctement : , sans passer par les complexes.

A première vue, je ne vois pas en quoi cette méthode permet de calculer .

[invitec317278e]

en calculant ça, on arrive a une somme de cos^{k+2}cos(kx) et une somme de cos^{k}cos(kx).
En réarrangeant les indices et sortant ce qui doit être sorti, on devrait arriver à une somme de cos^{k}.(cos(kx)+cos((k-2)x)).
en utilisant la formule de cos(a)+cos(b), on a du 2cos(x) qui se met en facteur, et la somme devient du cos^{k}cos((k-1)x). Puis en changeant les indices, et en factorisant par cos, on doit se retrouver avec du B_n.

on arriverait donc a une équation du premier degré d'inconnue B_n, ce qui nous donne B_n.

Ceci dit, j'ai pas mené les calculs, ça se trouve j'ai tout faux et ça n'aboutit à rien (je crains un risque assez haut de se retrouver finalement avec B_n=B_n...)

[invite55dcb7a8]

J'ai un exo sympa aussi regardez :

Exprimer plus simplement la somme :

[invite55dcb7a8]

J'ai un exo sympa aussi regardez :

Exprimer plus simplement la somme :

Edit : pardon pour le multi-post j'ai pas fait expres^^

[Seirios]

J'ai un exo sympa aussi regardez :

Exprimer plus simplement la somme :

En utilisant la dérivée, le résultat est assez rapide à trouver : ; on reconnaît alors une somme des termes d'une suite géométrique, puis l'on dérive, pour obtenir, sauf erreur de calcul : .

[invite55dcb7a8]

la méthode est bonne faut juste faire le cas où x = 0 où la somme vaut n(n+1)/2

[Seirios]

Effectivement, je n'y avais pas pensé, honte à moi...

[Universus]

Un calcul à la limite pour x tendant vers 0 de l'expression donnée par Phys2 donne bien n(n+1)/2 (une fois qu'on se débarrasse des formes indéterminées), mais c'est plus long en effet.

[Seirios]

Le plus embêtant dans ce que j'avais écrit, c'est que je ne précisais pas qu'il fallait , sans quoi ma formule est fausse, puisque l'on se retrouve avec un quotient sur zéro pour x=1...

[Universus]

Pour x=0 plutôt qu'on retrouve un quotient sur 0 (pour x=1, c'est sur (1-e)^2 ). Par contre, le numérateur est aussi égale à 0 dans ce cas, d'où une forme indéterminée 0/0. On applique la règle de l'Hospital 2 fois (car une fois donne encore une forme indéterminée) et on obtient au final (pour x=0) n(n+1)/2 .

[Seirios]

Effectivement, je voulais dire pour x=0...Cela dit, je n'avais pas remarqué que le numérateur s'annulait également.

[invitec317278e]

Sinon, le calcul doit pouvoir se faire avec les double sommes

[invite9a322bed]

Bonjour,

Comment vous avez fait pour celle-là svp : ?

[bubulle_01]

En utilisant et sa dérivée.

[Seirios]

Je n'avais pas pensé à cette méthode

Personnellement j'ai travaillé avec les doubles sommes, les calculs sont un peu plus longs :

[invite9a322bed]

En utilisant et sa dérivée.

Tu as posé à la fin ?

Phys2, je vais étudier ta méthode le soir, très occupé ces temps-ci =( !

Je vous laisse un exercice pour vous amusez un peu !

Etudier la convergence de la suite :

[Seirios]

Tu as posé à la fin ?

Oui, il s'agit effectivement de faire un lien entre , que l'on sait calculer, et .

[invitec317278e]

Tant qu'on est à poster nos préférences, voici ce que j'ai, pour cette somme :
En calculant , avec , on se retrouve très vite avec quelque chose de très connu, sans utiliser les lourdes double sommes.

[invite9a322bed]

Tant qu'on est à poster nos préférences, voici ce que j'ai, pour cette somme :
En calculant , avec , on se retrouve très vite avec quelque chose de très connu, sans utiliser les lourdes double sommes.

Peux tu expliciter ? Car je ne vois pas un truc de très connu pour moi en tout cas

Phys2 ta méthode m'est incompréhensible ^^ !

[invitec317278e]

J'explicite :



Sauf erreur...


Sinon, sans le formalisme, l'idée, c'est juste de voir que :
(1/2)+(2*1/4)+(3*1/8)+(4*1/16)+... - 1 - (2*1/2) - (3*1/4) - (4*1/8)-..., ca se simplifie pour donner en gros la somme des inverses des puissances de 2.

[bubulle_01]

Pour la méthode de Phys, dénombre respectivement chaque et tu verras que le décompte est respecté (à savoir i occurences).
Pour te le représenter, il suffit d'écrire tous les termes de manière triangulaire.

[invitec317278e]

quant à phys2, ce qu'il a écrit avec des notations compliquées, c'est :



simple réorganisation, après on calcule.

[invite9a322bed]

Oké merci beaucoup, c'est clair maintenant J'attend vos réponses sur l'exo que je viens de proposer !

[invitec317278e]

T'es sûr de ton énoncé ? j'ai peut etre mal regardé, mais il me semble limite trivial (pour passer au terme suivant, on divise par n^n, mais on multiplie par (2n)^(2n)*(2n+1)^(2n+1), donc ca diverge grossièrement)

[Seirios]

J'ai reformulé l'expression du n-ième terme de la suite ainsi : , donc je pense que l'on peut en conclure que , et donc que la suite diverge. Cela dit, il y avait peut-être plus simple si le résultat aussi trivial que Thorin le dit

[invitec317278e]

Bah ça donne :

, ce qui tend bien évidemment vers l'infini, puisqu'elle majore la suite définie par

ou encore, dès que k>2, car


enfin on fait comme on veut, mais je vois pas la difficulté