[TS+] Sommes et trigonométrie.

[invitef1b93a42]

Voilà quelques sommes à calculer, pour votre plaisir !

- avec .









.

Amusez vous bien
-----

[mx6]

Déja tout fait

Indices :

 Cliquez pour afficher

-Formules d'Euler with complex + somme de suite géométrique

- Binôme de Newton

[invitef1b93a42]

Bon bon mes exercices ont l'air un peu rouillés. :P
As-tu déjà fait celui-ci ? x, montrer que avec désignant la fonction partie entière.

[invite2220c077]

Salut,

En faisant ton exercice, je me suis aperçu d'une généralisation possible :



avec

Démonstration : Soit , et , . Alors :







D'un autre côté,



D'où

car . D'où le résultat.

Pour ton exercice, il suffit donc de prendre .

[A voir en vidéo sur Futura]

[mx6]

Celui là jamais encore fait !

Voici une démonstration :

 Cliquez pour afficher

On pose , donc

Soit .

Parce que, comme alors : et donc :

Tu es en TS ou MPSI ?

[Thorin]

moins simple :



avec min(i,j) le minimum de i et de j.

[invite2220c077]

Un autre encore moins :

[invite2220c077]

Désolé :

[mx6]

moins simple :



avec min(i,j) le minimum de i et de j.

Tant que , . Ensuite, . Donc .

Donc :

En utilisant la somme de entier consécutif on trouve :

[Thorin]

je pense que tu as une erreur dans le calcul de ma somme, mais vu que j'ai pas envie de refaire moi même le calcul, on va dire que c'est bon

[bubulle_01]

moins simple :



avec min(i,j) le minimum de i et de j.

Je l'ai eu en colle cette année celui-là.
Celui de Equinoxx qui traite des parties entières faisait office de question préliminaire pour une colle d'une des ENS de l'année dernière me semble.

[bubulle_01]

je pense que tu as une erreur dans le calcul de ma somme, mais vu que j'ai pas envie de refaire moi même le calcul, on va dire que c'est bon

?
Si c'est pas ça tant pis, flemme de refaire les calculs

[Thorin]

Une autre encore :

[mx6]

je pense que tu as une erreur dans le calcul de ma somme, mais vu que j'ai pas envie de refaire moi même le calcul, on va dire que c'est bon

Est ce que c'est la même chose de calculer :

?

[Thorin]

?
Si c'est pas ça tant pis, flemme de refaire les calculs

le résultat est , j'ai développé, et ça n'a pas l'air de correspondre à ce que tu as.

[Thorin]

Est ce que c'est la même chose de calculer :

?

c'est plutôt


ceci dit, dans ce genre d'exo, une difficulté est justement de bien déterminer à quoi c'est égal, en termes de double sommes

c'est "tous les couples (i,j) vérifiant 1<=i<j<=n", ce qui est un peu plus abstrait que la notation habituelle, puisque l'ordre n'est pas donné

[mx6]

c'est plutôt


ceci dit, dans ce genre d'exo, une difficulté est justement de bien déterminer à quoi c'est égal, en termes de double sommes

c'est "tous les couples (i,j) vérifiant 1<=i<j<=n", ce qui est un peu plus abstrait que la notation habituelle, puisque l'ordre n'est pas donné

Oui, j'ai pas fait attention, ceci dit, pas envi de faire tout les calculs^^ dés qu'on trouve ça, l'exo est déja fait ^^

Une question :
Est ce que :

?

Sinon, comment peut-on les relier ?

[mx6]

Voici un exercice sympa sur les suites :

Soit un réel strictement positif, et la suite définie par :

( fois le nombre sous les radicaux)

Démontrer que est convergente .

[Thorin]

ta question nécessite réflexion.

on a

par conséquent :

sauf erreur de calcul....mais même s'il y en a, voici comment procéder.

[invitef1b93a42]

Pour mx6 :

 Cliquez pour afficher

. En prenant la fonction c'est-à-dire , on trouve facilement que la suite est croissante. Ensuite, une récurrence sur pour montrer que et en déduire que est convergente et on calcule facilement sa limite en posant , on trouve que .

Remarque : en prenant , on trouve que la suite définie par converge vers le nombre d'or

[invite2220c077]

-------hhhh

[Thorin]

je propose maintenant une autre vision pour la double somme des min que j'ai proposée tout à l'heure.

ça va rendre le résultat simple à voir.

http://img191.imageshack.us/my.php?image=lin.jpg

sur la figure, on a un tableau a double entrée, les j en verticale, et les i en horizontale, et dans le tableau proprement dit, on a, dans chaque case d'"abscisse" i et d'"ordonnée" j, le minimum de i et de j.

le calcul de la somme double consiste donc à calculer la somme de tous les coefficients du tableau.
pour cela, on ne va pas le calculer n'importe comment, on va les sommer en sommant séparément tous les chiffres qui sont sur les cases d'une même couleur.
d'abord, bleu clair : 1
ensuite, rouge : 1 + 2 + 1
etc...
ce qu'il faut voir c'est que pour chaque couleur, quand on fait la somme, on tombe sur un des carrés :
bleu clair : 1=1²
rouge : 1+2+1=4=2²
jaune : 1+2+3+2+1=9=3²
etc...
(on justifie ceci par le fait que ...)

finalement, on somme toutes les couleurs, ce qui fait donc la somme des carrés.


la somme cherchée est donc égale à la somme des n premiers carrés, soit donc n.(n+1)(2n+1)/6...

[bubulle_01]

Une autre encore :

?

[Thorin]

ca a l'air de coller.
(j'ai pas calculé, je sais juste qu'elle est calculable, vu qu'elle est sur une de mes feuilles de TDs de sup', puis je vois au moins deux manières de calculer)

[mx6]

?

Ca ne marche pas je crois ! Essaye pour n=5 par exemple !

[Thorin]

propose une meilleure formule^^

[mx6]

j'ai cherché vite fait hier, j'ai rien trouvé, je vais retenté d'ici 3 heures après mes révisions pour le bac

[Seirios]

J'ai trouvé : ; j'ai testé le résultat pour n=5, et cela fonctionne.

[Thorin]

c'est la même chose que bubulle^^

[Seirios]

c'est la même chose que bubulle^^

Effectivement Mais quel est le problème avec n=5 ?