spé maths : géométrie dans l'espace

[Jess921]

bonjour,

je fais des exercices pour m'entraîner pour le bac et je bloque à plusieurs questions :

1) il faut que je montre que la surface d'équation (S) : x²+y²-z²=1 est symétrique par rapport au plan (xOy).

Je sais que (xOy) a pour équation z=0 mais je ne vois comment montrer cette symétrie ?

4)b) il fallait que je montre que la résolution d'une équation donne pgcd(a;b)=1 ou 5 ce que j'ai réussi, mais il demande après de conclure sachant que a et b représentent l'abscisse et l'ordonnée d'un point M de (C) d'équation x²+y²= 4625 car c'est l'intersection du plan z=68 et de (S). que puis-je en conclure ?

pouvez-vous m'aider ?
merci d'avance
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[NicoEnac]

Bonjour,

Pour la 1) : tu as bien identifié le plan (z=0) mais apparemment pas trouvé la méthode. Supposons qu'un point M de coordonnées (x_M,y_M,z_M) appartienne à la surface. Que dire de son symétrique par rapport à ce fameux plan ?

Pour la 4)b), pourrait-on avoir l'énoncé des questions 4)a) et 4)b) stp ?

[invite57daf81a]

Système
x²+y²-z²=1
z=0

=> x²+y²=1 cercle de centre O, de rayon 1 dans le plan z=0

Bon ?

[Flyingsquirrel]

Système
x²+y²-z²=1
z=0

=> x²+y²=1 cercle de centre O, de rayon 1 dans le plan z=0

Quel est le rapport avec la question posée ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Jess921]

alors la question 4-(a) était : on considère la courbe (C) intersection de la surface (S) et du plan d'équation z=68. précisez les caractéristiques de cette courbe.

J'ai dit cercle de centre I de rayon racine carrée(4625) avec I(0;0;68)

b) M étant un point de C, on désigne a son abscisse et b son ordonnée. on se propose de montrer qu'il existe un seul point M de (C) tel que a et b soient des entiers naturels solution du système :
a<b
a²+b²=4625
ppcm(a;b)=440
Montrer que si (a;b) solution du système alors pgcd(a;b) est égal à 1 ou 5. Conclure.

Donc j'ai réussi à montrer mais je ne parviens pas à conclure.

pour la 1) je ne vois toujours pas je pense que je n'ai pas la notion de symétrie dans l'espace !!??

[invite2220c077]

Pour la b)

Pour tout entier naturel et , on dispose de la formule suivante :



On note le pgcd de et . Par définition, et , donc divise toute combinaison linéaire de et . En particulier, . Donc est un multiple de 5 ou . On suppose par la suite .

D'un autre côté on a par hypothèse :

D'où,



Or le pgcd est un multiple de 5, d'où l'unique solution de l'inéquation.

[Jess921]

pourquoi d ne peut-il pas être égal à 1 ? pourquoi est-il nécessairement un multiple de 5 ?

et pour la 1) pouvez-vous m'aider svp ?

[invitecb6f7658]

Hey!

Bon pour la 1. tu considère un point M(x;y;z) de ta surface puis tu vois si M'(x;y;-z) qui est son symétrique par rapport à (Oxy) appartient à ta surface.

Pour l'arithmétique, Zweig est déjà sur le coup

[Jess921]

merci apprentilycéen j'ai compris pour la 1) !

il ne me reste plus qu'à comprendre cette conclusion de la 4-b) !!

[invitecb6f7658]

Zweig, j'ai plusieurs critiques concernant ce que tu as fait

1/ Tu montre que le PGCD est égal à ou à un multiple de . La question posée est de montrer que c'est soit , soit (je suis d'accord tu finis par le montrer mais je pense que c'est pas ce qui était demandé.)

Ensuite comment tu peux conclure que ou (il faudrait dire que et )

Et pour finir la supposition de ??
Pourquoi ne pas juste montrer que la réciproque est fausse.
Pour ,
donc
et comme , alors ce qui impliquerait que qui n'est pas un entier donc impossible.

[invite2220c077]

Ah non mais je n'avais pas fini. Je lui laissais la conclusion, c'est-à-dire, montrer qu'en fait ne peut convenir

[Jess921]

et ainsi comme d=5 peut-on trouver les valeurs de a et b ?
et quelle est l'interprétation géométrique que l'on peut en tirer ?

[invitecb6f7658]

Arf j'ai gaffé (désolé j'ai ruiné toute la pédagogie de ton post --')

[invitecb6f7658]

Jess> oui à partir de toutes les infos glanées à présent tu peux trouver les couples solutions (a;b). Quand à l'interprétation géométrique, tu pourras mieux t'en rendre compte en ayant trouvé la ou les solutions.

[Jess921]

j'ai trouvé a=40 et b=55 comme unique couple solution ! c'est-à-dire qu'il n'y a qu'un seul point M qui quoi d'ailleurs ?

[invitecb6f7658]

Le point M que tu as trouvé est solution de ton équation (C) de départ, que représente-t-elle?

[Jess921]

elle représente l'intersection de (S) et z=68 mais pourquoi nous a-ton fait justement calculer tel que ppcm(a;b)=440 ?

[invitedb2255b0]

Soit M(x;y;z) et M'(x;y;-z).
M'(S)
x²+y²-(-z)²=1
x²+y²-z²=1
M(S)

Donc (S) est symétrique par rapport au plan (xOy).
(Si tu veux le faire pour (xOz) ou (yOz) il suffit de faire la même demarche pour la coordonné qui ne définie pas le plan de symétrie (y pour (xOz) et x pour (yOz).

[invitedb2255b0]

Pour la question b) moi j'aurais fais ça:

Si on a (a:b) solution du systeme:
Soit d=PGCD(a;b)
Donc d|a et d|b donc d divise une combinaison linéaire de a et de b:
d|a²+b²
d|4625
donc d=1 ou d=5 (Première partie)

Pour la conclusion:
Si d=1
d.PPCM(a;b) = 440 equivaut à
ab=440 equivaut à
(a+b)² = a²+2ab+b²= 880 + 4625 = 5505
a+b =
Donc l'ensemble des points M(a;b;68) telque a et b soit entier naturel est vide. Il n'y a pas de points M(a;b;68) appartenant à C telque (a;b) soit solution du systeme.

Si d=5
d.PPCM(a;b)= 5.440
ab=2200 équivaut à
(a+b)² = a²+b²+2ab=9025
a+b=95
On aurais donc le systeme suivant:

En résolvant ce systeme j'ai trouvé comme couble: (40;55) et (55;40), or a<b donc il n'existe qu'un unique couple solution de ce systeme:
Donc il n'existe qu'un seul et unique points M(a;b;68) telque a et b soit 2 entier naturel solution du systeme posé dans la question.

Bref j'ai pas compris vos histoire 5kpi ou d'inéquation blabla ca sert à rien

[invitedb2255b0]

Enfait si, j'ai compris votre démarche qui était de démontrer ceci:
M(a;b;68) avec (a;b)² appartient à (C) si et seulement si PGCD(a;b)=5.
Mais ce n'est pas la question posée, et c'est donc une perte de temps

[invitecb6f7658]

Pour la question b) moi j'aurais fais ça:

Si on a (a:b) solution du systeme:
Soit d=PGCD(a;b)
Donc d|a et d|b donc d divise une combinaison linéaire de a et de b:
d|a²+b²
d|4625
donc d=1 ou d=5 (Première partie)

Pas d'accord, ta liste des diviseurs de 4625 est incomplète, 37 en fait partie. Pour réellement isoler 1 et 5, il te faut dire que d|440 (cf. messages précéédents)...

Sinon pour ce qui est de la méthode inutile, c'était un piste que lancait Zweig pas si inutile que ça d'ailleurs, parce que le jour où tu n'auras plus:
1.a)
b)
c)
2.a)
b)

Mais simplement
1.'résoudre tel système'

Ce sera bien pratique de savoir par où prendre le problème sans être complètement assisté. (Après on est d'accord, au bac pour avoir les points on répond aux questions posées ;p)

[invitecb6f7658]

Enfait si, j'ai compris votre démarche qui était de démontrer ceci:
M(a;b;68) avec (a;b)² appartient à (C) si et seulement si PGCD(a;b)=5.
Mais ce n'est pas la question posée, et c'est donc une perte de temps

Faux encore un fois, tu oublies PPCM(a;b)=440

[NicoEnac]

comment tu peux conclure que ou

Pourquoi ne considère-t-on pas le cas où ? Il ne mène à aucune solution mais je ne comprends pas pourquoi on ne l'étudie pas...

[invitecb6f7658]

En fait, est un diviseur commun à et . Donc


et

d'où ou

[NicoEnac]

Merci pour la réponse. Je trouve qu'il manquait cette étape dans le raisonnement.