Théorème des valeurs intermédiares

[inviteea8ef274]

Bonjour tout le monde,

f est une fonction définie comme suit: , où a est

un paramètre réel strictement positif.

Je dois montrer que l'équation f(x)=0 accepte en moins une solution

dans l'intervalle [-1,2], et je dois aussi vérifier si cette solution est

unique.

Donc pour la première j'ai utilisé le théorème des v.i. , pour

vérifier si cette solution est unique, j'ai fait la dérivée de f:

, mais je ne sais pas comment montrer

que cette dérivée est strictement monotone sur [-1,2]?

Pouvez-vous m'aider?

Et merci en tout cas.
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[invitebe08d051]

pour vérifier si cette solution est unique, j'ai fait la dérivée de f:
, mais je ne sais pas comment montrer
que cette dérivée est strictement monotone sur [-1,2]?

Tu n'est pas censé montrer que la dérivée est monotone.
Si tu as démontré l'existence d'une solution en utilisant le T.V.I et tu veux montrer son unicité sur un segment, il faut que la fonction soit monotone sur ce segment, en d'autres mots il faut que sa dérivée ait un signe constant.

Tu dois alors étudier le signe de .

Cordialement

[inviteea8ef274]

Tu n'est pas censé montrer que la dérivée est monotone.
Si tu as démontré l'existence d'une solution en utilisant le T.V.I et tu veux montrer son unicité sur un segment, il faut que la fonction soit monotone sur ce segment, en d'autres mots il faut que sa dérivée ait un signe constant.

Tu dois alors étudier le signe de .

Cordialement

Oui, mais comment résoudre l'équation ?

[invitedb2255b0]

Dérive à nouveau, ca te retire le parametre a, apres tu peux connaitre les variation de ta dérivé, en déduire le signe (TVI) et en déduire les variation de ta fonction.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitedb2255b0]

donc est strictement croissante sur
Or tu sais que donc est positive sur [0;2] et donc f est croissante sur [0;2]. Tu peux appliquer le corolaire du TVI.

Il nous reste à s'occuper de [-1;0]. On sais déjà que f' est croissante sur R. et f'([-1;0])=[a-6;a].

Il te reste à étudier le signe de f' en fonction de a.

[inviteea8ef274]

donc est strictement croissante sur
Or tu sais que donc est positive sur [0;2] et donc f est croissante sur [0;2]. Tu peux appliquer le corolaire du TVI.

Il nous reste à s'occuper de [-1;0]. On sais déjà que f' est croissante sur R. et f'([-1;0])=[a-6;a].

Il te reste à étudier le signe de f' en fonction de a.

OK grand merci.