TS : Une autre forme de reccurence.

[invite60457a4e]

Bonjour,voici l'énoncé:

Parfois,pour démontrer que la proposition Pn+1 est vraie, il n'est pas suffisant de supposer que la proposition Pn est vraie. Il se peut que la démonstration nécessite le fait que Pn est vraie pour un certain nombre d'indices inférieurs ou égaux à n. L'hypothése de récurence est alors
<<P indice p est vraie pour tout p supérieur ou égale a n >>. Dans la première étape, on vérifie la propriété aux premiers rangs, en accord avec le nombre de proposition nécessaires pour démontrer Pn+1 dans la deuxième étape.

A. la suite Un est définie par U1= 1, U2= 3 et pour tout entier naturel n supérieure ou égale a 1,

Un+2=2Un+1 - Un

1.Calculer U3, U4, U5 et conjecturez l'expression de Un en fonction de n.
2.Démontrer cette conjecture par récurrence.

B. La suite Un est définie par U0=2/5 U1=1 et pour tout entier naturel n,
Un+2= 5Un+1 - 6Un

Demontrer que pour tout naturel n, Un= (2^n +3^n)/5


A.1 U3=5 U4=7 U5=9.

Je peux donc dire que Un+1=Un +2.

Et donc je conjecture Un=2n-1 car la suite est arithmétique de raison 2 et U0=(-1).

Après je bloque... Merci de votre aide.
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[invite8bc5b16d]

Salut,

pour pouvoir montrer ta conjecture par récurrence, il va falloir utiliser l'expression Un+2=2Un+1 - Un.

Aussi, comme l'indique l'énoncé, il va falloir que tu vérifies l'hypothèse sur deux valeurs, puis que tu supposes qu'elle est vérifiée sur Un+1 et Un pour la montrer sur Un+2. Tu peux alors remplacer Un+1 et Un par leur expression en fonction de n (hypothèse de récurrence), et calculer Un+2 en fonction de n

[invite60457a4e]

Donc :

Un+2=2Un+1 -Un

or Un=2n+1 donc Un+1=2n+3 donc 2Un+1=4n+6.

2Un+1-Un=2n+5
Un+2=2n+5 donc Pn est vraie pour tout n différent de 0

[invite8bc5b16d]

voilà !

il n'y a plus qu'à rédiger proprement l'initialisation de la récurrence et l'hypothèse de récurrence et c'est bon !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite60457a4e]

Par contre la B, je n'ai pas d'idée pour savoir par où commenceré :'(... Peux tu me donner une petite piste parce que depuis hier soir j'écris je déchire, je recommance mais sans point de départ je n'arrive à rien. MERCI

[invite8bc5b16d]

Il faut faire une démonstration par récurrence comme pour la A, en remplaçant Un+1 et Un par l'expression qu'on te donne, et simplifier jusqu'à obtenir l'expression correspondant à Un+2

[invite60457a4e]

5U(n+1)-6U(n)=........................ ........................=2^(n+ 2)+3^(n+2) / 5

Sa je pense que c'est bon mias je n'ai jamais été copin avec les puissance et je sais pas jongler avec...

[invite39abeee5]

Alors mon pti jéjé lol ta peter un plomb ?! :d
Un+2=(2^n+1 + 3^n+1) - 6[(2^n+3^n)/5]

Après il te reste juste à faire ton raisonnement par récurrence en montrant que U0 est vraie et ensuite en hérédité tu montre que U2 est vraie et tu conclues !!!!