Arithmétique Spé Math

[invite1d08b0a8]

Bonjour je suis nouveau sur ce site. N’ayant pas l’habitude d’utiliser les forums pour m’aider en Math, je vous demande de bien vouloir m’aider. Ça fait maintenant 2 heures que je suis sur ce problème qui paraitra sûrement enfantin à certain. D’avance merci.

Soit n ∈ N, démontrer que :
A= (-3)^(4n) - 2^(2n) est divisible par 7

J’ai essayé avec modulo et je fini avec A≡ 4^n +3^n [7]
Je pense que la solution ce trouve peut-être dans un raisonnement par récurrence mais je n’y arrive pas .
-----

[fiatlux]

Salut, bienvenue sur le forum

J'ai essayé par récurrence, je ne crois pas que ce soit possible. Par contre si tu utilises l'identité remarquable suivante:
(voir ici tout en bas: http://fr.wikipedia.org/wiki/Identité_remarquable)
Donc:
et ça, c'est un multiple de 7 donc cqfd.

Il doit certainement y avoir un autre moyen de démontrer ça, sans devoir utiliser cette identité, mais là ya rien d'autre qui me vient à l'esprit pour l'instant.

[fiatlux]

Oups j'ai oublié une } ça a fait foirer la notation, ça a tout mis à l'exposant

Et:

[invite1d08b0a8]

Merci beaucoup fiatlux !
Cependant je suis en début de Terminal S, et cet exercice est de spé.
Je n'ai pas encore étudié cette identité remarquable et même si la démonstration est bonne je ne pense pas qu'elle satisfera ma professeur.
Encore une fois merci de m'avoir aidé.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Salut,

On peut prouver le résultat par récurrence. Comme à chaque fois, pour montrer que la propriété est héréditaire il faut s'arranger pour utiliser l'hypothèse de récurrence. Ici on a intérêt à écrire sous la forme où est un entier et est un multiple de 7. Comme par hypothèse est divisible par 7 il est ensuite facile de conclure.

[Médiat]

Soit n ∈ N, démontrer que :
A= (-3)^(4n) - 2^(2n) est divisible par 7
J’ai essayé avec modulo et je fini avec A≡ 4^n +3^n [7]

(-3)² ≡ 2 [7] ; cela devrait suffire à conclure, non ?

[invite1d08b0a8]

Pour Médiat :
Pour que ca fonctionne, il faut que A modulo 7 fasse 0 non ?

[invitee8f1871e]

La congruence modulo suffit !

[invite1d08b0a8]

Pourquoi (-3)² ≡ 2 [7]
Où trouve t-on (-3)²
Merci

[Médiat]

Pourquoi (-3)² ≡ 2 [7]
Où trouve t-on (-3)²
Merci

[hhh86]

Par récurrence, cette propiété est facile à démontrer.
Je ne fais pas l'initialisation
L'hypothèse de récurrence étant (-3)^(4n)-2^(2n)=7k, k∈Z
On a alors (-3)^(4n)=7k+2^(2n)

Donc (-3)^4(n+1)-2^2(n+1)
=(-3)^4x(-3)^4n-2^2x2^2n
=(-3)^4x[7k+2^(2n)]-2^2x2^2n d'après l'hypothèse de récurrence
=81x[7k+2^(2n)]-4x2^2n
=7kx81+2^(2n)x(81-4)
=7(81k+11x2^(2n))

Je te laisse pour faire la suite

[Médiat]

Par récurrence, cette propiété est facile à démontrer.
Je ne fais pas l'initialisation
L'hypothèse de récurrence étant (-3)^(4n)-2^(2n)=7k, k∈Z
On a alors (-3)^(4n)=7k+2^(2n)

Donc (-3)^4(n+1)-2^2(n+1)
=(-3)^4x(-3)^4n-2^2x2^2n
=(-3)^4x[7k+2^(2n)]-2^2x2^2n d'après l'hypothèse de récurrence
=81x[7k+2^(2n)]-4x2^2n
=7kx81+2^(2n)x(81-4)
=7(81k+11x2^(2n))

Je te laisse pour faire la suite

Pour quoi une démonstration incomplète de 8 lignes, alors qu'une démonstration complète tient en 2 lignes ?

[invite1d08b0a8]

Pourquoi la démonstration est incomplète ? Que manque-t-il ?
De plus je pense que ma prof préfère une démonstration par récurrence.
Voilà !

[Médiat]

Pourquoi la démonstration est incomplète ? Que manque-t-il ?

Je ne fais pas l'initialisation
[...]
Je te laisse pour faire la suite

De plus je pense que ma prof préfère une démonstration par récurrence.

Si tu le dis ...

Pose-lui la question, pour voir.

[hhh86]

A quoi bon faire une démonstration complète alors qu'il est capable de la faire lui-même ?

[Médiat]

A quoi bon faire une démonstration complète alors qu'il est capable de la faire lui-même ?

Il n'y avait pas une critique de ce point dans ma remarque, mais si la démonstration incomplète tient en 8 lignes, cela veut bien dire que la démonstration complète prend plus de 8 lignes, à comparer avec une démonstration complète en 2 lignes (que je n'ai d'ailleurs pas écrite entièrement (je n'ai écrit qu'une ligne), pour les mêmes raisons).

[hhh86]

Il n'y avait pas une critique de ce point dans ma remarque, mais si la démonstration incomplète tient en 8 lignes, cela veut bien dire que la démonstration complète prend plus de 8 lignes, à comparer avec une démonstration complète en 2 lignes (que je n'ai d'ailleurs pas écrite entièrement (je n'ai écrit qu'une ligne), pour les mêmes raisons).

Effectivement désolé