Exercice sur les dérivations

[invite9207e68f]

Bonjour,

J'ai un exercice sur les dérivations mais je bloque un peu arrivé à un certains moment ! voici l'exercice :

"On considère une fonction f dont la courbe représentative dans le repère (O;I;J) est notée Cf.
On sait que f(0) = 3, f(2) = -1 et f'(2) = 1.

1) Déterminer une équation de la tangente T1 à Cf au point d'abscisse a = 2.
2) Soit T2 la tangente Cf au point d'abscisse a = 0. Sachant que le point A(-2, 1) appartient à T2, déterminer une équation de T2.
3) La droite T3 d'équation y= 1/2x - 1 est tangente à Cf au point d'abscisse a = 4. En déduire f'(4) et f(4)."

Pour le 1) je fais donc : y = f'(a)(x - a) + f(a)
= 1(x - 2) + (-1)
= 1x - 2 + (-1)
= 1x - 3

Pour le 2) d'après des "pistes" reçus je fais :

y = mx + p

f(0) = m*0 + p
3 = p
p = -3

y = mx + p
1 = m*(-2) + p
1 = -2m + p
-2m + p = -1

-2m + (-3) = -1
-2m = 2
m = 1

y = mx + p, y = 1*0 + (-3), y = -3

mais je suis pas sur du tout donc... et pour le 3) je n'ai vraiment aucune idée :S

Si quelqu'un serait m'aider ce serait cool

Merci
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[invite358e397d]

Tu as fait des erreurs de signe
3=p c'est différent de p=-3
idem pour ça :
1 = -2m + p
-2m + p = -1

[invite358e397d]

Pour le 3)
f(4) appartient à ta tangente T3
T3 est la tangente à Cf au point d'abscisse a=4, donc tes courbes au même point ont le même coefficient directeur

[invite9207e68f]

Merci de ta réponse Broke !

Donc 3 = p, équivaut à : p = 3 et 1 = -2m + p, équivaut à -2m + p = 1 ?

Et pour le 3) je n'ai toujours pas compris

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite358e397d]

Oui, c'est ça

Pour le 3)
C'est le raisonnement inverse à la question 1.
à la question 1, tu connaissais la dérivé à un point ainsi que son ordonné et tu devais trouver l'équation de la tangente. Pour la 3), c'est l'inverse.

[invite9207e68f]

Donc pour le 2) :

y = mx + p

f(0) = m*0 + p
3 = p
p = 3

y = mx + p
1 = m*(-2) + p
1 = -2m + p
-2m + p = 1

-2m + 3 = 1
-2m = -2
m = 1

y = mx + p, y = 1*0 + 3, y = 3

Donc T2 = 3

c'est bien ça ?

Et le 3) je vois, mais je ne sais pas comment passer de l'équation de la tangente à f'(4) et f(4)...

[invite358e397d]

T2 pour x=0 est bien égal à 3 mais pour la réponse, on te demande d'écrire l'équation de T2, comme tu l'as écrit y=mx+p, tu as trouvé m et p, tu n'as plus qu'à réécrire y.

Pour le 3)
T3 étant la tangente de Cf au point a=4, elles ont le même coefficient directeur. Quel est le coefficient directeur de ta tangente?
Comment exprimes-tu le coefficient directeur de ta fonction f(x) au point x=4?

Comme T3 est la tangente de Cf au point a=4, f(4) appartient à T3, et donc...

[invite9207e68f]

Donc pour le 2) y = 1x + 3 ?

Et pour le 3), le coefficient est de 1/2 non ? Pour exprimer le coefficient directeur de la fonction f(x) au point x=4 je ne sais pas...

[invite9207e68f]

Petit UP c'est assez urgent

[invite358e397d]

oui, le coefficient directeur est bien 1/2, et étant donné que T3 est la tangente de Cf, et bien Cf a le même coefficient directeur au point x=4, et le coefficient directeur de f pour x=4 correspond à sa dérivée, soit f'(4). Donc, là, tu viens de trouver f'(4), maintenant, il reste f(4). et bien étant donné que le point f(4) appartient à T3, et bien, tu calcules T3 à l'abscisse 4.

[invite9207e68f]

Ok donc f'(4) = 1/2 ? et comment je calcule T3 à l'abscisse 4 ?

Merci

[invite358e397d]

Tu as déjà l'équation de T3, tu n'as qu'à remplacer x par 4 et calculer y

[invite9207e68f]

Ah ok, donc dans ce cas : y= 1/2 * 4 - 1 = 4/2 - 1 = 2 - 1 = 1
f(4) = 1 ?

[invite358e397d]

Oui, c'est cela.

[invite9207e68f]

Ok merci de ton aide !

J'ai un autre exercice mais j'ai un petit doute !

J'ai la fonction f(x) = x / x² + 1
Je fais la dérivée qui est : -1x² + 1 / (x² + 1)²

Maintenant je dois étudier le signe puis faire un tableau de variation mais j'hésite sur la manière de procéder... dois-je calculer Delta puis X1 et X2 avec "-1x² + 1" ou il y a une autre manière pour ce type de fonction ?

Merci,

[invite9207e68f]

Personne ?