Valeurs absolues

[invite0aeb10a6]

Soit , la fonction défini sur par:
.

1) Donner l'ensemble de définition de , puis exprimer sans valeurs absolues.
2) Faire un tableau de variation de .
3) Faire la représentation graphique de .


1)

sans valeurs absolues: ?
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[invite0aeb10a6]

Quelqu'un peut m'aider S.V.P..

[invitea29b3af3]

Df = R c'est ok.
Exprimer f sans les valeurs absolues:
ton expression f(x) = 5x-10 ne tient pas compte du signe de x. Par exemple avec x=0, on a f(x)=8, alors que 5*0-10 = -8. Il faut définir f en plusieurs parties. Par exemple, pour x allant de tant à tant, f(x)=.... etc.

[invite0aeb10a6]

Je crois qu'il ne faut pas prendre ces valeurs pour non?
et

C'est bien cela?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29b3af3]

c'est pas qu'il ne faut pas les prendre, mais il faut définir une f(x) pour ces plages de valeurs en particulier. Pour te simplifier la vie, commence peut-être par la question 2. Etudie le signe de f en fonction de x. Ca t'aidera énormément pour la question 1

[invite0aeb10a6]

décroissante sur

croissante sur

[invitea29b3af3]

J'avais mal lu désolé, ça va pas vraiment t'aider pour la question 1 lol. Mais par contre la 2 sera toute simple quand t'auras fait la 1 (car c'est peut-être pas tout à fait exact ce que t'as écrit, et la question 1 te permettra très simplement d'en être sûr)

Pour la une il faut trouver pour quelles valeur de x on a f(x)=0. Tu verras qu'il y'en a 2, que pour l'instant je nomme a et b (avec a<b). Ensuite il te restera plus qu'à définir f(x) pour les 4 suivants:
]-infini;a[
]a;b[
]b;+infini[
{a}U{b}
Le dernier cas c'est simplement f(x)=0, évidemment, puisque f(a)=f(b)=0

[invite0aeb10a6]

quand vaut 10 ou -10?

[invitea29b3af3]

non. f(10)=2 et f(-10)=18

[invite0aeb10a6]

Bon je sais que c'est 2 et 8 (grâce à ma calculette) mais je sais pas comment on calcule sans les valeurs absolues. Comment aboutir à ces nombres.

[invite0aeb10a6]

? ?

[invitea29b3af3]

tu étudies séparément les deux parties de f(x):
si on pose g(x)=3|x-3| et h(x)=|1-2x|
pour x>3, g(x)=3(x-3)
pour x<3, g(x)=3(-x+3)
pour x>1/2, h(x)=2x-1
pour x<1/2, h(x)=-2x+1
Donc pour x < 1/2 (et donc que 3 aussi):
f(x) = 3(-x+3)-(-2x+1) = -3x+9+2x-1=-x+8 donc f(x)=0 implique x=8.
Pour x entre 1/2 et 3 on a:
f(x)=3(-x+3)-(2x-1) = -3x+9-2x+1=-5x+10 donc f(x)=0 implique x=2.
Pour x>3:
f(x)=3(x-3)-(2x-1)=3x-9-2x+1=x-8 donc tu as de novueau x=8 pour f(x)=0

[invite0aeb10a6]

Donc il faut marquer tout ça pour exprimer f(x) sans les valeurs absolues.

Le tableau de variation est le suivant:

croissante sur ]-infini;3]
décroissante sur [3;+infini[

?

[invitea29b3af3]

oui c'est ce qu'on pouvait supposer (et c'est juste). Là on peut le vérifer en cherchant les limites en +infini et -infini avec ce qu'on a trouvé au point 1
Donc oui c'est ça.

EDIT: non c'est l'inverse. D'abord décroissante et ensuite croissante, comme t'avais dit plus haiut

[invite0aeb10a6]

oui c'est ce qu'on pouvait supposer (et c'est juste). Là on peut le vérifer en cherchant les limites en +infini et -infini avec ce qu'on a trouvé au point 1
Donc oui c'est ça.

EDIT: non c'est l'inverse. D'abord décroissante et ensuite croissante, comme t'avais dit plus haiut

Euh exact! xD Pour les limites je ne l'ai pas encore vu. Donc je pense que c'est bon?

Et puis pour la représentation graphique de f, j'utiliserai la calculatrice et sa table de valeur. Je ferais du point par point pour avoir une belle courbe.

[invite0aeb10a6]

Dans R, montrer que si on a: ,alors

Je propose de trouver la valeur de y et de x.









Comme ceci?

[invitea29b3af3]

ça ne t'avance à rien d'exprimer x ET y. Seulement un des deux.
Ensuite remplace par exemple x par 0.5-2y dans x²+y² et développe. T'arrive à une fonction f(y) qui est du 2e degré. Il ne te reste qu'à montrer qu'elle est toujours plus grande ou égale à 1/20

[invite0aeb10a6]

Et puis après je sais pas. A la 7e ligne c'est ((-4/20)/(-3)).

[invitea29b3af3]

tu es parti faux tu as oublié le .



tu poses
si tu essaies de factoriser, tu n'y arrives pas car delta est négatif (la fonction ne s'annule donc jamais). Il ne te reste plus qu'à montrer qu'elle a un minimum en 1/20 avec la dérivée

[invitea29b3af3]

je t'écris le reste parce que je vais y aller, donc:

la dérivée s'annule donc pour
Il y a donc un extremum en 1/5 (et on suppose justement que c'est le minimum qu'on cherche). Pour connaître sa valeur on cherche f(1/5):
et donc on a bien prouvé que l'expression est toujours

[invite0aeb10a6]

Je n'ai pas encore fait les dérivées, ni a-t-il pas un autre moyen pour démontre cela?

[invite0aeb10a6]

? ?

[invite0aeb10a6]

Fiatlux comment trouves-tu ?

[invitea29b3af3]

j'ai dérivé f(y). Mais si tu n'as pas vu les dérivées, je ne sais pas trop comment t'aider, désolé. Peut-être étudier les variations de f ? Mais sans la dérivée c'est vraiment pénible...
Ou alors je viens de penser à un truc... Tu essaies de prouver que la courbe de f, donc Cf, est toujours au-dessus de la droite y=1/20 (on pose g(y) = 1/20 par exemple). Si c'est le cas, alors tu as prouvé ce que tu voulais prouver. Donc tu peux par exemple calculer la différence "f(y)-g(y)" et prouver que c'est toujours positif.
Donc:

là tu peux essayer de faire un tableau de signe ou je sais pas quoi, et essayer de prouver que ce truc est toujours positif quelle que soit la valeur de y..