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Limite d'une fonction en un réel Xo



  1. #1
    maariion

    Limite d'une fonction en un réel Xo


    ------

    Bonsoir, J'ai un peu de mal à faire mon exercice:
    Voici l'énoncé:

    Soit n un entier supérieur ou égal à 1, et la fonction f définie sur privé [0;1] par :
    F(x)=1/xn(1/(1-x)-(1+x+x2+x3+...+xn)).

    1. Etudier la limite de F à gauche et à droite de 1; en déduire l'existence d'une asymptote verticale à sa courbe représentive.

    Donc pour cette question j'ai étudier les limites de la fonction séparemment et j'ai trouvé:
    LimF(x)=- l'inifni(en 1+)
    LimF(x)=+l'infini (en 1-)

    Il existe donc une asymptote en x=1
    2.Montrer que F(x)=x/1-x

    Pour cette question je bloque :s
    Merci de m'aider

    -----

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  3. #2
    fiatlux

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    Si j'ai bien lu ce que t'as écrit, c'est ça? :

    ou alors il manque des paranthèses?
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

  4. #3
    maariion

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    Oui c'est ça

  5. #4
    fiatlux

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    là tu multiplies par dans la paranthèse:

    et là tu vois que tu peux simplifier le truc devant la paranthèse avec la première partie du premier terme de la paranthèse... je te laisse faire et tu verras que ça va se simplifier au fur et à mesure.
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    maariion

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    Ok mais par contre à un moment j'arrive à:

    x/xn-1(1-x) - ...- (1-x)/x(1-x)-1
    Et je ne peux plus simplifier ... :s ?

  8. #6
    fiatlux

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    tu peux simplifier le premier terme par x en haut et en bas, ce qui te donne . Je continue le développement:
    et là, c'est pareil, le terme de devant se simplifie avec la première partie du premier terme de la paranthèse. Il reste alors:
    et c'est reparti, le terme de devant se simplifie avec la première partie du premier terme de la paranthèse, et ça se répétra comme ça jusqu'à la fin. Donc au final, tu arriveras à:
    cqfd
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

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  10. #7
    maariion

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    Ok j'ai réussi et j'ai bien compris.
    Par contre je crois que j'ai un probleme avec la question qui suit aussi :s

    En déduire l'existance d'une fonction En(x) telle que, pou tout x différent de 1 :

    1/(1-x)= 1+x+x2+...+xn
    et LimEn(x)=0 quand x tend vers 0

    J'ai essayé de prendre pour fonction E(x)=1/xn(1-x) mais ça ne marche pas :s Merci de m'aider

  11. #8
    fiatlux

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    Citation Envoyé par maariion Voir le message
    En déduire l'existance d'une fonction En(x) telle que, pou tout x différent de 1 :

    1/(1-x)= 1+x+x2+...+xn
    et LimEn(x)=0 quand x tend vers 0
    C'est vraiment ça la donnée ?
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

  12. #9
    maariion

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    Oups -_- j'ai oublié le plus impotant
    En déduire l'existance d'une fonction En(x) telle que, pou tout x différent de 1 :

    1/(1-x)= 1+x+x2+...+xnEn(x)
    et LimEn(x)=0 quand x tend vers 0

    Voila

  13. #10
    fiatlux

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    Ce serait pas ça par hasard?

    1/(1-x)= (1+x+x2+...+xn)En(x)
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

  14. #11
    maariion

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    Oui c'est ça désolé

  15. #12
    fiatlux

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    En fait, ce serait pas ça plutôt ?
    1/(1-x)= 1+x+x2+...+xn+En(x)
    (si tu me réponds que oui, je te descends )
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

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  17. #13
    maariion

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    xD Non non c'est ce que vous avez le post d'avant ^^ avec une multiplication entre En et 1+x+x²...

  18. #14
    fiatlux

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    Bon. Z'allons-z'y:
    On sait que:

    Donc:

    Donc:

    Donc il faudrait que ce qu'il y a à droite de l'égalité soit égal à , donc:

    Donc:

    Tu peux t'arrêter là, ou alors tu développes le dénominateur et tu remarques que:
    donc:
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

  19. #15
    maariion

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    le dénominateur c'est 1-x dans la premiere égalité... ça change pas grd chose de toute maniere ?

  20. #16
    fiatlux

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    oups. Non, effectivement, ça change presque rien (enfin presque)..
    donc:
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

  21. #17
    maariion

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    Oui c'est ce que j'ai trouvé aussi Par contre je ne comprends pas bien l'étape là:
    Donc il faudrait que ce qu'il y a à droite de l'égalité soit égal à (1+x+x²+...+xn) donc :
    (1+x+x²+...+xn)En(x)=xn+1/1-x+(1+x+x²+...+xn)

  22. #18
    fiatlux

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    Nous on veut montrer que
    Dans notre développement (c'est à dire à la ligne ), on voit tout d'un coup qu'on a justement tout seul d'un côté du signe égal. Donc pour montrer que , il faut que ce qu'il y a de l'autre côté du signe égal soit égal à
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

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  24. #19
    maariion

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    Ah oui oui oui tout à fait !
    Excusez moi c'est tard je suis fatiguée ^^

    En tout cas merci pour tout ! =D
    Bonne soirée !

  25. #20
    fiatlux

    Re : Limite d'une fonction en un réel Xo

    De rien Et pareillement
    La pie niche-t-elle haut ? Oui, la pie niche haut.

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