raisonnement par récurrence (2)

[invite9a9ff281]

Partie 1 :

Sn = 1+2+3+...+n+ (n+1) pour n appartient a [1;20]

b) Conjecturer une expression de Sn en fonction de n.

Sn = (n(n+1))/2

c)
Démontrer cette conjecture par récurrence

alors là j'ai réussi
Initialisation :
Sn=1 au rang n₀=1

Hérédité :

On suppose que la relation est vraie au rang p supérieur a 1
Au rang p+1 :
Sn = ((p+1)(p+2))/2
Donc la propriété est vrai e au rang p+1

Conclusion :
La propriété ...est vraie et héréditaire ....

Partie 2 :

Sn'= 1³+2³+.... +n³+(n+1)³

b) Comparer alors Sn et Sn'. Conjecturer une propriété.

Là j'ai trouvé que Sn' semble le carré de Sn

c)
Démontrer par récurrence la conjecture précédente.

Là je trouve pas la réponse ni le cheminement.....!!!!!
AIDEZ MOI !!!!
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[invite9a9ff281]

Je voudrai une aide pour la question c de la partie 2....

[Flyingsquirrel]

Salut,

c)
Démontrer par récurrence la conjecture précédente.

Pour prouver l'hérédité il suffit d'écrire que

et de bricoler le membre de droite pour qu'il ressemble à ce que l'on veut (personnellement je commencerai par mettre en facteur...).

[invite9a9ff281]

Is there someone?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Flyingsquirrel]

Is there someone?

Oui, j'ai répondu au message n^o3.

[invite9a9ff281]

1^3 + 2^3 + ... + n^3 + (n + 1)^3 OK
= (1 + 2 + .... + n)² + (n + 1)^3
=[(1 + n)²n²]/2² + (n + 1)^3 ...
= (n + 1)²(n² + 4n + 4)/4 obtenu en mettant (n + 1)² en facteur, = (n + 1)²(n + 2)²/4 = [(n + 1)(1 + n + 1)/2]² = (1 + 2 + ... + n + n + 1)². C'est ce qu'il fallait démontrer...
?

[invite9a9ff281]

après si je développe aussi je trouve Sn'= (p+1)(p³+5p²+8p+4)/4

Je vois pas a quoi je dois aboutir pour valider l'hérédité...

y a un truc que je comprends pas trop là du coup....

[Flyingsquirrel]

C'est ce qu'il fallait démontrer...
?

Ben oui. La propriété écrite au rang est donc au rang on doit trouver ... c'est exactement l'expression que tu as obtenue.

[invite9a9ff281]

Donc là du coup je peux direct dire que l'hérédité est vérifée après ?

[invite9a9ff281]

Merci de l'aide

[Flyingsquirrel]

Donc là du coup je peux direct dire que l'hérédité est vérifée après ?

Oui !