limite et récurrence

[invite323b0d24]

Bonjour j'ai un petit souci au niveau d'une justification pourriez vous m'aider.
on a f(x) = racine ((1+x)/2)
puis U_n+1= f(U_n)
on sait par les réponses précedentes que 1-U_n+1plus petit ou égale à 3/10(1-U_n)

La question c'est justifier par réccurence que 1-U_n plus petit ou égale à 1/2*0.3ⁿ

Merci d'avance pour votre aide et réponse.
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[cpalperou]

Salut,
la démonstration par récurrence nécessite une première étape d'initialisation (vérifier que la propriété à démontrer est vrai pour u₀). Puis tu démontres que si la propriété est vrai au rang n alors elle est vrai aussi au rang n+1.
Hypothèse : 1-u_n <= 1/2*0.3ⁿ

or: 1-u_n+1 <=0.3(1-u_n) d'après les questions précédentes donc .....
et tu aboutis à 1-u_n+1 <= 1/2*0.3ⁿ⁺¹

[invite323b0d24]

Merci pour votre reponse mais je ne vois pas comment vous passez de 0.3*(1-Un) à 1/2*0.3ⁿ⁺¹. Pourriez vous me rexpliquer merci.