suites

[inviteee10c42f]

Bonjour, jai un DM de maths sur les suites. J'ai essayé de le faire mais arriver a la 2eme question je suis bloqué. J'espère que vous pouvez m'aider.
Voici le sujet:

Soit (Un) la suite définie par U0= 0 et U1= 1 et, pour tout n appartenant à N , la relation de récurrence Un+2 = Un+1 + Un.
1. calculer U2, U3, U4, U5, U6. ( c'est fait)
2. Trouver toutes les suites géométriques solutions du problème. On notera q1 et q2 les valeurs des raisons trouvées ( avec q1 inférieur à q2 ).
3. Trouver (lamda , mu) appartenant à R² tel que, pour tout n appartenant N : Un= lamdaq1^n + muq2^n, puis démontrer cette relation par récurrence.
4. Démontrer que ((1+racine5)^2002 - (1-racine5)^2002)racine5 (sans le calculer).

Merci d'avance.

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[Jeanpaul]

Suppose que un soit une suite géométrique qui démarre à u0 et que la raison est q (à déterminer). Combien valent alors u(n), u(n+1), u(n+2) ?
Et ça dit quoi quand on écrit la relation de récurrence ?
Il te reste à trouver les valeurs possibles de q, qu'on appelle q1 et q2.
A partir de u(0) et u(1), tu peux trouver lambda et mu et, par récurrence, montrer que si la relation est vraie pour u(n) et u(n+1), elle est vraie pour u(n+2). N'oublie pas que q1 et q2 ne sont pas n'importe quoi.

[inviteee10c42f]

g trouvé
q1=(1-racine de 5)/2
q2=(1+racine de 5)/2

et j'ai trouvé lamda= -1/racine de 5
et mu= 1/racine de 5

mais je n'arrive pa faire la question 4

[Jeanpaul]

Tout ça est OK mais je n'arrive pas à comprendre ce qu'on te demande dans la question 4. Est-ce la valeur de u(2002) ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteee10c42f]

bonjour en faête j'ai un problème pour démontrer par récurrence.

[Jeanpaul]

Tu écris que u(n) = lambda q1^n + mu q2^n
et que u(n+1) = lambda q1^(n+1) + mu q2^(n+1)
ensuite que u(n+2) = u(n+1) + u(n), tu regroupes un peu tout ça et tu n'oublies pas que q1² = q1 +1 et itou pour q2, ça s'arrange et, ô miracle, tu trouves que
u(n+2) = lambda q1^(n+2) + mu q2^(n+2) et c'est ça la récurrence.

[inviteee10c42f]

d'accord j'ai compris merci beaucoup pour votre aide