Bonjour, j'ai un DM à rendre pour jeudi et je bloque sur quelques questions. J'ai presque terminé alors si vous pouviez m'aider, ce serait super !
Alors voici l'énoncé (il y a 3 parties) :
On note (E) l'équation x^3 - 15x - 4 = 0 et (I) l'inéquation x^3 - 15 - 4 > 0.
1)a. Démontrer que l'équation (E)est équivalente à l'équation x^2 - 15 = 4/x
b. Tracer dans un même repère, les courbes représentatives des fonctions f(x)=x^2 -15 et g(x)= 4/x
c. Déterminer graphiquement le nombre de solutions de l'équation (E). Une des solutions est un nombre entier, quelle est sa valeur? Encadrer chacune des autre solutions alpha et béta par deux entiers consécutifs. (avec alpha<beta)
d. Démontrer que l'inéquation (I) s'écrit sur ]0;+[, x^2 - 15 supérieur à 4/x et sur ]-;0[, x^2 - 15 inférieur à 4/x.
e. Résoudre graphiquement l'inéquation (I).
Mes réponses pour la partie 1 :
a. pr x n'est pas égal à 0
x^3 - 15x - 4 = 0
x^3 - 15x = 4
x (x² - 15) = 4
(x² - 15) = 4/x
b. /
c. il faut que je regarde les points d'intersection entre les 2 courbes ?
il y a une solution pour x = 4
-1<a<0
et -4<b<-3
d. sur ]O;+oo[ :
x^3 - 15x - 4 > 0
x^3 - 15x > 4
x (x² - 15) > 4
x² - 15 > 4/x
et sur ]-oo;0[ :
x^3 - 15x - 4 < 0
x^3 - 15x < 4
x (x² - 15) < 4
x² - 15 < 4/x
Est-ce la bonne façon de procéder ?
e. Sur ]-oo;0[, la courbe x² - 15 est au-dessus de la courbe 4/x pour x appartient à ]-oo; -3,8[ et sur ]0;+oo[, la courbe x² - 15 est en-dessous de l'autre pour x appartient à ]0;4[.
Je ne suis pas du tout sure de moi pour cette question.
partie 2 maintenant :
2. f est une fonction définie sur R par f(x) = x3-15x-4 ( C la courbe représentative dans un repère )
a) Justifier la continuité de f sur R.
f composée de 3 fonctions continues et dérivables sur R donc f est continue et dérivable sur R.
b) Etudier les limites de f en -oo et +oo.
(en prenant les termes de plus haut degré
lim x3=-oo donc lim (x-> -oo) f(x)=-oo
x->-oo
lim x3=+oo donc lim (x->+oo) f(x)=+oo
x->+oo
c) Déterminer les variations de f et dresser son tableau de variation.
f'(x)=3x²-15
delta = 180
les racines sont -racine de 5 et racine de 5
Donc on en déduit :
x | -oo -V5 V5 +oo
signe | + | - | +
de f'(x)|
variation f| croissante | décroissante | croissante
d) Tracer la courbe C.
/
e) Démontrer que l'équation f(x)=0 admet exactement 3 solutions sur R.
Je ne sais pas comment faire.
f)L'une des solutions est un nombre entier, donner un encadrement d'amplitude 10-3 de chacune des autres solutions alpha et bêta (avec alpha<bêta).
Avec la calculatrice :
-3,74<a<-3,73
-0,27<b<-0,26
nombre entier déjà trouvé dans la partie 1 pour x = 4
g) Etudier le signe de f. en déduire l'ensemble de solutions de l'inéquation (I) (=x3-15x-4>0).
Je ne vois pas comment procéder.
La partie 3 enfin beaucoup plus courte (et plus facile) :
3.a) Déterminer les réels a ; b ;c tels que pour tout réel x , x^3 - 15x - 4 =
( x - 4) ( ax² + bx + c ).
j'ai trouvé a = 1, b = 4 et c = 1.
soit x^3 - 15x - 4 = (x-4) (x² + 4x +1)
b) Résoudre l'équation (E).
j'ai trouvé x = 4, x = -2-V3 et x= -2+V3.
c) Résoudre l'inéquation (I).
x>4 , x > -2-V3 et x > -2+V3.
Voilà, merci d'avoir lu jusqu'au bout, déjà, en espérant une aide.
Merci d'avance.
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