Probleme ouvert (fonctions niveau Terminale S)

[invitea08168b6]

Voilà mon problème, merci d'avance à tous ceux qui pourront m'aider


Soit C la courbe d'équation y=x², M un point de cette courbe et A le point de coordonées (0,1)
déterminer la ou les positions du point M telles que la distance AM soit minimale


J'ai calculé la distance AM.
Je trouve AM=racine(x^4-x²+1)

Maintenant, je pense qu'il faut que je trouve le minimum de la fonction associée.
Pour que cela soit plus facile j'ai posé f(x)=x^4-x²+1 (AM²)


Je trouve f'(x)=4x^3-2x

Et maintenant que faire pour trouver le minimum??


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[invitea29b3af3]

Salut

Le minimum (ou en tout cas l'extremum) se trouve en posant f'(x)=0. (Tu peux vérifier si c'est un minimum en cherchant la dérivée seconde).

Graphiquement parlant, f'(x)=0 ça veut dire que la pente de la tangente à la courbe en x est nulle (donc la tangente est une droite horizontale), donc forcément elle est tangente à une "bosse" dans le graphe de la fonction, donc un extremum (maximum ou minimum)

[invitea08168b6]

Pour f'(x)=0
S={-rac(2)/2;0;rac(2)/2}

Après je dois faire quoi?

[invitea29b3af3]

Eh bien t'as fini

Les positions de M sont:




(je te laisse calculer les f(....))

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea08168b6]

Mais pour que la distance AM soit la plus petite possible, il faut que ce soit un minmum, or si l'on fait le tableau de variations de f, en -rac(2)/2 et rac(2)/2 , on a des maximum non?

Et j'avais pris comme focntion AM², ça ne change rien pour AM?

[invitea29b3af3]

Je ne sais pas comment tu as fait ton tableau de variation, mais tu as dû te tromper. Si tu regardes sur un graphe de la fonction x², la distance maximale entre le point (0,1) et un point de x², elle est clairement pour , donc ces trois solutions sont vraiment des minimums, pas des maximums. Par contre si tu veux le vérifier avec la dérivée seconde, il va falloir que tu dérives vraiment la fonction pour AM et pas celle pour AM². Ca ne changeait rien pour la première dérivée puisqu'on cherchait seulement f'(x)=0, mais ça change pour la 2e dérivée.

[invitea08168b6]

D'accord merci.
Par contre, f(o)=1 donc M(0;1), mais ce n'est pas possible car M doit appartenir à la courbe...

[invitea08168b6]

Ah non, il ne faut pas utiliser f(x) mais x²

[invitea29b3af3]

ah oui pardon, erreur de notation, pour moi f(x) c'était x²

[invitea08168b6]

Merci beaucoup du temps que vous m'avez consacré.
Bonne soirée