V en fonction de c

[invite06a166f3]

Bonjour, j'ai l'équation suivante :



On me demande d'exprimer V en fonction de a, de T et de c. Mais je n'y arrive pas. Quelqu'un pourrait-il m'aider svp ?
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[invite93e0873f]

Bonjour,

Habituellement il est mieux autant que possible d'éviter les doublons (encore davantage les 'triplons'). À l'avenir, si tu réalises qu'il y a une erreur dans ton message, il serait mieux d'essayer d'éditer ton message ou si le temps pour le faire est passé, de poster un autre message dans le même fil déjà ouvert plutôt que d'en ouvrir jusqu'à ce que tu aies ce que tu souhaites.

Enfin bref, l'idée est de se débarrasser de cette racine carrée et de ce dénominateur (qui est dans ce cas nul autre que la racine). Ainsi, multiplies les deux côtés de ton équation par afin d'éliminer le dénominateur puis fais le carré des expressions de chacun des côtés de l'égalité. Tu obtiens :



Nous avons à première vue à faire à une équation de degré 4 en v (en fait, ce n'est pas juste à première vue, mais pour toutes les autres qui suivent aussi). Ce qui est vraiment à première vue, c'est l'impression que cela ne se résout pas facilement. En fait, si on effectue le changement de variable , on a l'équation de degré 2 suivante :



L'ensemble solution en u de cette équation est donc:



On a donc bel et bien u en fonction des variables a, T et c. Il ne reste qu'à revenir à v en sachant, d'après la définition que nous avons accordée à u, que

Bref, mathématiquement, il y a 4 solutions pour v à ton équation initiale. Néanmoins, si ton équation est issue d'un problème spécifique, il est fort possible que tu possèdes davantage d'informations qui te permettent de diminuer le nombre de solutions possibles.

[invite06a166f3]

Merci beaucoup.

[invite06a166f3]

Merci beaucoup. Mais on me demande maintenant si V est toujours inférieur à une certaine valeur. Je serais tenté de dire qu'il est toujours inférieur à c. Mais je ne suis pas sur.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite93e0873f]

La quantité sous la racine est toujours positive (autrement, la valeur de la racine ne prend pas de valeur parmi les nombres réels), c'est-à-dire que . De plus, puisque est obligatoirement une quantité positive peu importe que a et T le soient ou pas, on a que . Bref, on connait par quel intervalle est bornée la racine* :



On regardera donc les valeurs de u données dans mon message précédent. Si , ayant borné la racine, on a que , soit puisque , . Si , ayant borné la racine, on a que , soit puisque , . En combinant ces intervalles, on a donc** :



Tu obtiens donc bien qu'il n'y a aucune vitesse supérieure à c. Néanmoins, tu n'avais pas vraiment besoin de faire tous ces calculs pour aboutir à cette conclusion. En effet, je t'ai dit plus haut que l'argument d'une racine (i.e. ce qui se trouve sous la racine) ne peut pas être négatif sans quoi la valeur de la racine ne serait pas un nombre réel. Si tu regardes l'équation initiale que tu avais, tu vois que si (c étant réel, cette inégalité n'a rigoureusement de sens que si v est réel aussi), tu as que ; la racine au dénominateur n'a donc pas une valeur réelle et v serait donc non réel, une contradiction. De plus, parce que si c'était le cas (s'il y avait égalité), le dénominateur serait nul et la fraction n'aurait pas de valeur définie. Bref, on a que en ne regardant que ton équation initiale.

* J'ai mis des inégalités non strictes (i.e. laissant la possibilité à des égalités) parce que ne connaissant pas ce à quoi correspondent vraiment a et T, je ne peux pas être plus restrictif que ce que les symboles disent a priori.
** Nous avons un intervalle fermé (i.e. qui contient ses bornes) à cause du commentaire fait en (*).

[invite3d3c8be1]

Bonjour,

Joli coup de main Universus!! Mais je crois qu' au final tu as fait l' exo à la place de parousky!!!!?

Au revoir