soit n un entier naturel
on considère F(n)=9^n - 2^n
1 A l'aide d'un tableur , déterminer un entier impair p dont F(n) est multiple pour tout n. ( est-ce bien 7 ??)
2 démontrer par récurrence que quel que soit n , F(n) est divisible par p .
( cette question me pose souci ! )
et le reste j'ai réussi donc si qqn peut m'aider ce serait super gentil
tiens je le connais cet exo, j'ai pas encore vu ce chapitre mais on l'avais eu en exo au début de l'année.
c'est bien 7
en fait, t'es d'accord que tu dois dire queest multiple de7 implique que
soit tu pars de l'expression en n+1 pour trouver un truc en fonction de l'expression en n, soit tu par de la première expression pour retrouver la deuxième.
la deuxième méthode est plus rapide mais un peu plus dure à trouver.
ce qui est chiant dans ces exo c'est que l'astuce, bah c'est pas une astuce, faut juste savoir que 9=7+2 (pour la première méthode) et que 2=9-7 (pour la deuxième méthode).
et puis, si
je sais pas trop comment t'aider plus parce que ça donne vraiment la solution
ah oui,
J'ai pas vérifié mais je pense que c'est bien 7 car avec n=1 on a 9-2=7 et c'est un nombre premier donc.
Pour la question deux, si p divise F(n) et si p=7, alors F(n)=7K.
f(n+1)=9^(n+1)-2(n+1) essayes de développer et regarde si tu peux remplacer à un moment, normalement oui, après ca vient tout seul.
Edt : avec un train de retard .. ^^
Initialisation
Vérifions cette propriété pour n=0 :
9^0-2^0=0
Donc la propriété est vraie au rang 0
Caratère héréditaire :
Suppsons que F(n) soit divisible par 7 avec n entier naturel
Donc il existe un entier relatif k tel que 9^n-2^n=7k <=>9^n=7k+2^n
F(n+1)=9^(n+1)-2^(n+1)=9(7k+2^n)-2*2^n=9*7k+9*2^n-2*2^n=7(9k+2^n)
Il existe donc k'=9k+2^n tel que F(n+1)=7k'
La propriété est donc vraie au rang k+1
Pour tout entier naturel n, 7|F(n)
merci milles fois de m'avoir répondu !
j'ai réussi a faire les trois quarts du calcul mais arrivé a 9 x 7k + 9 x 2^n - 2^n x 2 je comprends pas comment je trouve 7( 9k + 2^n ) !?
9 x 2^n - 2^n x 2=7x2^n, puis tu factorises.
sinon tu aurais pu partir de
non franchement non désolé je comprends toujours pas non plus d'ou sors le 7 x 2 ^n
9*2^n-2*2^n=(9-2)2^n=7*2^n
