Devoir sur suites numériques

[Duke Alchemist]

non plus

Prends les premières valeurs, cela te donnera une idée plutôt rapide de la réponse :
(-0,2)¹ = ?
(-0,2)² = ?
(-0,2)³ = ?
(-0,2)⁴ = ?
...
(-0,2)ⁿ = ?... pour n très grand...
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[invitea97b4264]

oui donc lim (-0,2)^n = 0 c'est tout ?

[Duke Alchemist]

oui donc, cela ne change pas ta réponse finale qui est +infini. On est d'accord.

Je préfère dire tout de suite que la réponse finale est bonne avant que tu ne te mettes à en douter

[invitea97b4264]

merci beaucoup pour votre aide jai fini un exercice sur 3 cest déja ca

[Duke Alchemist]

De rien.

Mais juste par curiosité, quel est l'intérêt de calculer cette limite ?
Il doit me manquer des données là

[invitea97b4264]

oui il y avait une question entre la précédente et celle la mais je lai faite seule jallai pas vous embeter avec des choses que je pouvais faire toute seule

[invite5150dbce]

oui donc lim (-0,2)^n = 0 c'est tout ?

Normalement tu as du voir le théorème sur les limites d'une suite géométrique.
Normalement tu aurais du trouver la réponse toute seule sans l'aide de Duke.
Comme -1<-0,2<1, alors lim (-0,2)^n = 0, comme 1,2>1, alors lim (1,2)^n = +inf

[invitea97b4264]

Normalement tu as du voir le théorème sur les limites d'une suite géométrique.
Normalement tu aurais du trouver la réponse toute seule sans l'aide de Duke.
Comme -1<-0,2<1, alors lim (-0,2)^n = 0, comme 1,2>1, alors lim (1,2)^n = +inf

Non je ne l'ai pas vu ce théorème mais jai fait des recherches dessus c'est bon jai compris son utilisation.

[invitea97b4264]

Voici l'énoncé de la 2ème partie de mon devoir dont je ne suis pas sure de mes réponses :

On considère la suite (Vn) définie sur N par V0= 6 et, pour tout n appartient à N, Vn+1 = 1,4Vn - 0,05V²n
Soit f la fonction définie sur N par f(x) = 1,4x - 0,05x²

a) Etudier les variations de f sur [0;8]
b) Montrer par récurrence que pour tout entier n, 0< ou égal à Vn<ou égal à Vn+1<ou égal à 8. En déduire le sens de variation de la suite (Vn).

(Désolée pour les écritures mais je n'ai pas laTex)

[invitea97b4264]

a) Pour étudier le sens de variation de f sur [0;8], il faut calculer f'(x) et trouver son signe pour en déduire le sens de variation de f.
Jai trouvé f'(x) = -0,1x +1,4

Je sais si a = -0,1 <0 alors f'(x) est décroissante mais comment prouver que son signe est positif ?

[invitea97b4264]

si quelqu'un pouvait m'aider ^^

[Duke Alchemist]

Bonjour.

a) Pour étudier le sens de variation de f sur [0;8], il faut calculer f'(x) et trouver son signe pour en déduire le sens de variation de f.
Jai trouvé f'(x) = -0,1x +1,4

Je sais si a = -0,1 <0 alors f'(x) est décroissante mais comment prouver que son signe est positif ?

Tu confonds signe et variation de f '(x) ! On se moque de la variation de f '(x)

Etudie le signe de f '(x) soit de -0,1x+1,4 (du type ax+b) de manière classique sur |R puis déduis son signe sur [0;8]

Pour la deuxième partie, peux-tu me rappeler les étapes d'une démonstaration par récurrence, stp ?

Duke.

[invitea97b4264]

c'est justement l'étude du signe qui me pose probleme pour l'instant peux tu me donner des pistes de réfléxion ?

[invitea97b4264]

non c'est bon je me suis compliquée la vie l'étude de signe était simple. En revanche je bloque encore sur la phase Hérédité de la question b) (raisonnement par récurrence).

J'ai réussi a prouver que P0 est vraie.
Hérédité : On suppose que (Pn) est vraie c'est a dire que (Pn) 0<ou égal à Vn<ou égal à Vn+1<ou égal à 8 est vraie. On veut prouver que (Pn+1) est vraie cad que (Pn+1) 0<ou égal à Vn+1<ou égal à Vn+1+1< ou égal à 8 est vraie.

[invitea97b4264]

J'ai commencé selon ce raisonnement

Vn+1 = 1,4Vn -0,05V²n
Donc Vn+1+1 = Vn+2 = 1,4Vn+1 - 0,05V²n+1
Mais ensuite mes résultats ne semblent pas corrects.. Peut etre que mon raisonnement ne l'est pas non plus :S

[Duke Alchemist]

Re-

Tu as un problème avec les bases des maths toi

Comment étudies-tu le signe de ax+b ?
Il est "évident" que la valeur annulatrice de ax+b (ie ax+b=0) est x=-b/a, n'est-ce pas ?
Ensuite, ton expression est du signe de -a pour x<-b/a
et elle est du signe de a pour x>-b/a.

Cela te rappelle-t-il qqch ?

Duke.

EDIT : Argghh... trop tard !... Je reviens pour la suite (je n'aurais pas le temps de réediter)

[invitea97b4264]

oui oui c'est bon jai trouvé pour l'étude de signe et oui mes bases de maths ne sont pas acquises dans la mesure ou je n'ai pas eu un très bon prof de maths l'année dernière enfin si on pouvai parler d'un prof de maths mdr
Mon programme de cette année j'arrive a le comprendre mais il me manque certaines notions de 1èreS c'est vrai mais avec le temps je devrait arriver à les maitriser

Oui donc pour le raisonnement par récurrence que peut tu me dire ?

[Duke Alchemist]

Vas-y par étape :
* Montre que v_n+1>0
* Cherche à exprimer v_n+2 simplement en fonction de v_n+1 et aide-toi de l'étude de ta fonction pour montrer que v_n+2>v_n+1.
* Montre que v_n+2<8.

[invitea97b4264]

J'ai commencé selon ce raisonnement

Vn+1 = 1,4Vn -0,05V²n
Donc Vn+1+1 = Vn+2 = 1,4Vn+1 - 0,05V²n+1
Mais ensuite mes résultats ne semblent pas corrects.. Peut etre que mon raisonnement ne l'est pas non plus :S

L'hypothèse de récurrence nous permet de montrer que (Pn) et donc (Vn+1) est vraie. Pour (Pn+1) je l'ai fait ci dessus mais qu'en penses tu ?
Ensuite j'ai remplacé Vn+1 dans l'écriture mais cela donne un résultat qui n'est pas interprétable :S

[Duke Alchemist]

Pas de nouvelles ?

Je te propose, pour simplifier un peu ce que j'ai proposé ci-dessus, de :
1. montrer que (facile en t'aidant de l'étude de la fonction f)
2. montrer que (par récurrence simple)

Le symbole de l'inéquation est à prendre au sens strict mais il m'échappe (je ne le trouve pas )

[invitea97b4264]

Vn+1 = 1,4Vn - 0,05V²n
Vn+2 = Vn+1+1 = 1,4Vn+1 - 0,05V²n+1
On remplace Vn+1 dans Vn+2 :

Vn+2 = 1,96Vn - 0,14V²n + 0,0025V^4n

Ici on a donc Vn+1<ou égal à Vn+2 ??

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

1. v_n+1 = v_n*[1,4 - 0,05v_n].
Pour tout v_n de [0;8], le terme entre crochets est compris entre 1 et 1,4.
Calcule v_n+1 pour v_n = 0 et v_n = 8 et puisque la fonction correspondante est croissante et positive...

2. Pour montrer la deuxième partie :
v_n+2 = v_n+1*[1,4-0,05v_n+1]
Le terme entre crochets étant positif, on a v_n+2 > v_n+1

Duke.

[invitea97b4264]

2. Pour montrer la deuxième partie :
v_n+2 = v_n+1*[1,4-0,05v_n+1]
Le terme entre crochets étant positif, on a v_n+2 > v_n+1

Duke.

ok merci j'ai compris je pense pouvoir finir seule l'exercice. Merci ^^