Devoir sur suites numériques

[invitea97b4264]

Bonjour à tous !
Je suis penchée depuis plusieurs jours sur un devoir mais je n'arrive pas à résoudre certains exercices. Voici l'énoncé :

Soient a et b les suites définies sur N par a0=2 et b0=4 et pour tout entier naturel n, {an+1 = (1/4)(an+3bn)
{bn+1 = (1/4)(3an+bn)
D est une droite munie d'un repère (O,i) et pour tout entier naturel n, An et Bn sont les points de D d'abscisses respectives an et bn.

2. u est la suite définie sur N par un = an+bn. Démontrer que la suite u est constante. En déduire que, pour tout entier naturel n, les segments [An Bn] et [An+1 Bn+1] ont le meme milieu I dont on donnera l'abscisse.

Jai réussi a démontrer que u est constante car un+1 = un mais je ne vois pas comment prouver que I est le milieu des segments j'ai besoin de votre aide !

Merci d'avance ! ^^
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[invitea97b4264]

S'il vous plait jai besoin de votre aide!

[invitea97b4264]

Qu'est ce qui vous bloque dans mon énoncé ?

[invitea97b4264]

Cet énoncé n'a pas l'air de satisfaire donc je vais vous donner la suite de mon dm :

3. v est la suite définie sur N par vn = bn-an
a. Démontrer que la suite v est une suite géométrique.

Je sais qu'une suite géométrique est telle que Vn+1 = q*Vn. Jai donc calculé Vn+1. Je trouve Vn+1 = 2an mais je ne vois pas comment prouver.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea29b3af3]

Fais-toi un dessin. Puisque est constante, alors si par exemple vaut , forcément que doit valoir . Donc si l'abscisse du point Bn se déplace vers la droite, l'abscisse du point An se déplace vers la gauche sur la même distance pour compenser. Pareil dans l'autre sens. Donc tu vois que le point à mi-distance entre et est toujours le même, il ne bouge pas (c'est précisément l'absisse de ton point I). Puisqu'il est à mi-distance entre et , c'est simplement la moyenne des 2 : .

Pour ta suite , commence par calculer en fonction de et en ramplaçant et par leurs expressions. Tu verras que tu arriveras bien à quelque chose de la forme

[invitea97b4264]

Merci jai compris la première question ^^ M

[invitea97b4264]

Mais pour Vn+1 je trouve que mon résultat n'est pas correct :
Vn+1 = bn+1 - an+1
= (1/4)(3an+bn) - (1/4)(an+3bn)
= 3an + 3bn - an + 3bn = 2an
Qu'en pensez vous ?

[invitea29b3af3]

Vn+1 = bn+1 - an+1

Jusque là d'accord.

= (1/4)(3an+bn) - (1/4)(an+3bn)

Jusque là d'accord.

= 3an + 3bn - an + 3bn

QUOI ?!?!


(refais ton calcul)

[invitea97b4264]

c'est bon je crois avoir trouvé
Vn+1 = (1/2)an + bn
Dans ce cas comment prouver que c'est une suite géométrique (q = ? )

[invitea29b3af3]

c'est bon je crois avoir trouvé
Vn+1 = (1/2)an + bn

t'as pas oublié des paranthèses là ?

[invitea97b4264]

si je pense avoir trouvé Vn+1 = q*Vn
q*(bn - an) = (1/2)an+bn
q = [(1/2)an+bn] / [bn-an]
q = - 1/2
C'est correct ?

[invitea29b3af3]

Non. Tu es censée trouver (1/2)(an+bn), pas (1/2)an+bn.... A part te dire de refaire ton calcul, je ne peux pas t'aider plus.
Et si par hasard c'était effectivement (1/2)(an+bn) que tu as trouvé ben c'est fini. (an+bn) c'est vn et donc Vn+1 = (1/2) vn donc q = 1/2

[invitea97b4264]

t'as pas oublié des paranthèses là ?

non il ne me semble pas
Vn+1 = bn+1 - an+1
= [1/4(3an+bn)] - [1/4(an+3bn)]
= (3/4)an + (1/4)bn - [ (1/4)an + (3/4)bn]
= (3/4)an + (1/4)bn - (1/4)an - (3/4)bn
= (2/4)an - (2/4)bn
ah si ! XD merci

[invitea97b4264]

donc Vn+1 = 2/4(bn-an)
C'est correct ?

[invitea97b4264]

Non. Tu es censée trouver (1/2)(an+bn), pas (1/2)an+bn.... A part te dire de refaire ton calcul, je ne peux pas t'aider plus.
Et si par hasard c'était effectivement (1/2)(an+bn) que tu as trouvé ben c'est fini. (an+bn) c'est vn et donc Vn+1 = (1/2) vn donc q = 1/2

Attention Vn = bn - an donc si je trouve Vn+1 = 1/2(an-bn) c'est correct ?

[invitea29b3af3]

Attention Vn = bn - an donc si je trouve Vn+1 = 1/2(an-bn) c'est correct ?

oulala quel étourdi je fais Oui alors mes plates excuses, c'est bien q = -1/2
Vn+1 = 1/2(an-bn) = -1/2(bn-an) = -1/2 Vn

[invitea97b4264]

Bon on va dire que c'est correct merci pour ton aide ^^

Voici la suite de l'exercice mais je ne suis pas sure de ma réflexion :

b. Exprimer Vn en fonction de n; en déduire l'expression de an et bn en fonction de n.

On sait que q=1/2 et Vn = q^n * V0
= (1/2)^n * 2 (car V0 = b0-a0 = 4-2 = 2

C'est cela ?

[invitea97b4264]

oulala quel étourdi je fais Oui alors mes plates excuses, c'est bien q = -1/2
Vn+1 = 1/2(an-bn) = -1/2(bn-an) = -1/2 Vn

ne tinquiète pas pas de probleme moi aussi jai fait uen erreur donc q= -1/2 et Vn = (-1/2)^n * 2 ?

[invitea29b3af3]

C'est cela ?

Oui exact

[invitea97b4264]

ok merci En revanche je ne vois pas comment trouver l'expression de an et bn en fonction de n !

[invitea97b4264]

jai raisonné de cette facon :
Vn = bn - an et Vn = (-1/2)^n * 2
Donc bn-an = (-1/2)^n * 2
Ainsi bn = (-1/2)^n * 2 +an
an = (-1/2)^n * 2 + bn

C'est correct ?

[invitea97b4264]

je crois avoir compris cet exercice grace a toi merci ^^

Nouvelle question :
c. Que peut-on dire de la distance AnBn quand n tend vers l'infini ? Que peut-on dire des limites de an et bn quand n tend vers l'infini ?
En revanche cette question la ne m'inspire vraiment pas du tout !

[invitea29b3af3]

C'est pas faux mais ça ne te donne pas l'expression de an ou bn uniquement en fonction de n. Tu peux par exemple t'aider du résultat du premier ex qui disait que (an+bn)/2 = 3 donc an=6-bn du coup tu injectes ça dans ta dernière ligne par exemple:
an = (-1/2)^n * 2 + bn
6-bn = (-1/2)^n * 2 + bn
6 - 2*(-1/2)^n = 2bn
donc bn = 3 - (-1/2)^n

je te laisse trouver an à partir de là.

[invitea29b3af3]

rectification, tu t'étais trompée dans ta dernière ligne, tu as oublié le signe moins:
an = -(-1/2)^n * 2 + bn
6-bn = -(-1/2)^n * 2 + bn
6 + 2*(-1/2)^n = 2bn
donc bn = 3 + (-1/2)^n

et on peut vérifier qu'on a bien b0 = 4

[invitea29b3af3]

Tu peux t'aider de mon explication au message #5. Plus n devient grand, plus le terme (-1/2)^n devient petit, puisque :
(-1/2)^1 = -1/2
(-1/2)^2 = 1/4
(-1/2)^3 = -1/8
(-1/2)^4 = 1/16
etc.
Donc quand n tend vers l'infini, la limite de (-1/2)^n est 0. Donc les limites en l'infini de an et bn c'est simplement 3. (ça veut dire que pour bn on part de b0=4 et plus n augmente, plus on se rapporche de 3. Pour an on part de a0 = 2 et plus n augmente plus on se rapproche de 3. Donc la distance entre An et Bn devient toujours plus petite, donc nulle en l'infini.

[invitea97b4264]

an = (-1/2)^n * 2 + bn
6-bn = (-1/2)^n * 2 + bn
6 - 2*(-1/2)^n = 2bn
donc bn = 3 - (-1/2)^n

Je ne trouves pas comme toi pour an :
an = (-1/2)*2 + bn
-bn +6 = -1^n +bn
6= -1^n +2bn
-2bn = -1^n - 6
bn = [1^n - 6]/2
= (1/2)^n - 3

Ce ne serait pas plutot ce résultat qui est corretc et si non pourquoi ?

[invitea97b4264]

rectification, tu t'étais trompée dans ta dernière ligne, tu as oublié le signe moins:
an = -(-1/2)^n * 2 + bn

Je ne vois pas d'ou sors ce signe moins ! :S

[invitea97b4264]

c'est bon jai compris pour bn je cherche an maintenant ^^

[invitea97b4264]

pour an je ne trouve pas un résultat correct :
bn = (-1/2)^n*2 + an
-an+6 = (-1/2)^n*2+an
6 = (-1/2)^n*2 +2an
2an = 6 + (1/2)^n*2
an = (1/2)^n + 3

Ce résultat est faux car quand on calcule a0 on obtient 4 alors que a0=2!

[invitea29b3af3]

Tu t'es trompée en passant de la 1e à la 2e ligne. bn c'est 6-an