Etude de fonction exponentielle

[invitebffa97de]

J'ai du mal lorsque j'ai une étude de fonction sur la fonction exponentielle, qui pourai m'aider :

Voici l'exo:

Soit f la fonction définie sur R par : f(x)=e exposant x - e exposant -x / e exposant x + e exposant -x

1) Etudier les variations de f sur R
2) Soit g la fonction défini sur R par : g(x) = f(x) - x
a) etudier les variation de g sur R
b)Calculer f(0) et en déduire le signe de g sur R.
c)Déterminer l'équation réduite de la tangente T à la courbe C reprèsentant f au point d'abscisse 0
d)Etudier la position relative de T et C.


Voila, qui pourai m'aider car j'en ai vraiment besoin
Merci d'avance
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[invite1a299084]

Bonjour ami de l'analyse !

f(x)=e exposant x - e exposant -x / e exposant x + e exposant -x

Essayes de l'écrire correctement comme ça:

f(x)=(e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)

C'est ça ta fonction?

Et tu n'as rien réussi du tout du tout? Pas d'idée pour la question 1 ?
(On ne va pas te faire le boulot !) Mais par contre on va t'aider

[invitebffa97de]

Oui c'est sa ma fonction, et j'attendais kon m'aide, pas de problème sur sa, peut tu m'aider alors ??
Pour étudier le signe de f il faut étudier dabors le signe de f', mais je n'arrive pas à dériver ??

[invite1a299084]

Oui il faut dériver f alors pour cela il faut prendre la forme:

u/v où

u(x) = e^x-e^-x
et v(x)= e^x+e^-x

Tu sais que exp'(x)= exp(x)
Mais attention il faut utiliser la composée pour e^-x.
Tu sais que (f o g)'= (f' o g) x g'(x)
Donc exp'(x)= (exp(-x)) x -1 = -exp (x)
Essayes de dériver en utilisant:

(u/v)' = [(uv')-(u'v)]/v²

Good Luck !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitebffa97de]

Si je comprend bien pour dérivé la fonction f j'utilise sa : (u/v)' = [(uv')-(u'v)]/v²
Et ex = ex ( sa ne change pas)
e-x= -e-x

C'est bien sa ?

[invite1a299084]

Oui... Vu que j'ai fais l'exponentielle que la semaine dernière... Ce que je dis est peut-être faux mais je pense que c'est ça !
Tu es d'accord ou pas?
Dans ton cours tu as bien: exp'(x) = exp(x)
Et pour exp(-x) tu vois bien que c'est une composée entre la fonction exponentielle et la fonction -x. Et donc la dérivée d'une composée c'est:
(f o g)' = (f' o g) x g'(x)
Ici f(x)=exp(x) et g(x) = -x
Donc exp'(-x)= -exp(-x)

Et donc voilà ! N'oublies pas de justifier l'ensemble de dérivabilité

[invite1a299084]

Tu y arrives?

J'ai fais vite fait le calcul je trouve:

f '(x)= e^x - e^-x

Trouves tu pareil?

[invitebffa97de]

Oui je trouve pareil, mais je suis pas sur , mais peut tu m'aider à faire le reste de l'exo,
Est ce que quelqun dautre pourai nous aider pour la première questions, car on n'est pas sur à 100 pour cent

[invite1a299084]

Je pense que c'est juste !

Maintenant faut étudier le signe de : e^x-e^-x

e^x-e^-x = e^x - 1/e^x
= e^x (1-1/(e^x)²)

Donc: e^x>0
e^x² >0
1/(e^x)² < 0
1-1/(e^x)² > 1
e^x(1-1/(e^x)²) > e^x > 0

f ' est positif sur R et donc f est strictement croissante sur R !

[invitebffa97de]

J'ai rien compris à sa :

ex-e-x = ex - 1/ex
= ex (1-1/(ex)²)

Pourquoi fais tu sa, je comprend pas comment on fait pour étudier le signe de ex-e-x

[invite1a299084]

Bah tu as pas appris les formules?

exp (a+b) = exp(a) x exp(b)
exp (a-b) = exp(a)/exp(b)
exp(-b) = 1/exp(b)

Donc voilà je transforme exp(-x) en 1/exp(x)

ensuite je factorise: exp(x) - 1/exp(x)

ça donne: exp(x) [1-1/(exp(x)²]

Et après je joue avec les inégalités pour retomber à la fin !