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Définition mathématique limite d'une fonction



  1. #1
    Garion5

    Définition mathématique limite d'une fonction


    ------

    Bonjour,

    J'ai un problème avec la définition mathématique de la limite. (désolé, je ne sais pas comment écrire avec les bons signes mathématiques).

    "Pour tout epsilon>0, il existe un delta>0 ; pour tout x appartenant à A, si |x-x0|<delta alors |f(x)-L|<=epsilon"

    Je ne comprend pas vraiment l'intérêt de dire que il y a un intervalle plus grand à chaque fois. Comment faire pour l'appliquer dans un exercise?

    Voila, merci beaucoup à vous et une très bonne journée

    -----

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  3. #2
    Seirios

    Re : Définition mathématique limite d'une fonction

    Bonjour,

    Comment faire pour l'appliquer dans un exercise?
    En pratique, on ne l'utilise pas au lycée, sauf pour certaines démonstrations.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  4. #3
    physeb

    Re : Définition mathématique limite d'une fonction

    Bonsoir,

    au contraire, il s'agit de prendre un intervalle aussi petit que l'on veut. L'intérêt de cette définition est de s'affranchir des cas pathétique comme une fonction du type:
    f(x)=1 pour tout x sauf x=0
    f(0)=2

    Qu'elle est la limite de f(x) en x=0? que trouves tu avec cette définition?

    Normalement tu trouve que la limite de f(x) quand x tend vers 0 différente de f(0). Cela t'indique directement que ta fonction n'est pas continue!

  5. #4
    S321

    Re : Définition mathématique limite d'une fonction

    En pratique on ne voit pas non plus la définition formelle de la limite au lycée. Le fait est qu'on nous pose une question d'ordre mathématique. Il n'y a pas de mal à renseigner quelqu'un qui cherche à savoir, même s'il aborde des notions qui ne sont pas à son programme scolaire.

    L'intérêt de cette définition n'est pas d'avoir un intervalle plus grand, mais qu'il puisse être aussi petit qu'on veut.
    On dit que f(x) tend vers l quand x tend vers x0 lorsqu'au voisinage de x0 pour x on peut toujours faire en sorte que f(x) soit aussi proche qu'on veut de l.

    La notion de limite ne nécessite pas que la fonction f prenne la valeur l. Il suffit qu'elle s'en approche, que pour un epsilon aussi petit qu'on veut il existe toujours un voisinage de x0 dans lequel f(x) diffère de l d'au plus epsilon.

    Effectivement on peut choisir un epsilon grand, mais ça n'a pas grand intérêt. L'état d'esprit de l'epsilon c'est d'être aussi petit qu'on le souhaite.

    C'est rare que la définition de la limite soit vraiment utile, au lycée ou même après. On s'en sert pour démontrer des théorèmes sur les limites qui eux sont extrêmement utiles.
    Si un exercice (avec un "c" !) nécessite l'utilisation de la définition pour montrer que l est la limite de f(x) quand x tend vers x0 on commence par définir un epsilon quelconque et on cherche pour quelle majoration de |x-x0| on a |f(x)-l|<ε.
    La majoration dépendra bien sûr de l'epsilon.

    Par exemple si vous voulez montrer que . Attention, x²/x vaut x partout sauf en 0 où il n'est pas défini, aux dernières nouvelles il était toujours interdit de diviser par 0.
    Soit ε un réel strictement positif quelconque.
    On cherche une condition sur |x-0| pour que |x²/x-0|<ε. Je n'ai pas choisit une fonction trop compliquée donc on voit assez immédiatement qu'il faut que |x-0|<ε.
    On a donc montrer que pour n'importe quel epsilon il existe un delta (il existe puisqu'on a dit qu'il valait epsilon) tel que si |x-0|<δ alors |x²/x-0|<ε.

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    Garion5

    Re : Définition mathématique limite d'une fonction

    Bonjour tout le monde, tout d'abord merci bien pour vos réponses !

    En faite, j'ai posté dans la catégorie "lycée" parce que je pensais que c'était un sujet qui s'en raprochait plus que l'université. Mais en faite, je suis en 1er année polytech.

    Il reste un point que je ne saisis pas tout à fait : pourquoi utiliser un epsilon et un delta alors qu'ils sont les mêmes? C'est là que ça me parait flou ...

    Voila, bonne journée

  8. #6
    Garion5

    Re : Définition mathématique limite d'une fonction

    Non, evidemment, j'ai relu et effectivement, dans le cas de x²/x epsilon = delta. Mais c'est pas tout le temps pareil je suppose?
    Si au lieu de x²/x, j'ai une fonction plus compliqué, comment faire pour trouver le delta ? On ne sait pas tjs trouver un tout petit?

    Mais la ou je vois pas c'est que on pourra toujours trouver un delta plus grand, donc l'epsilon existera.

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