Salut à tous !
Je bloque sur un exo d'analyse 1ere année c'est la fin de mon dm donc chaud pour moi, aidez moi please !
I un intervalle non vide et fermé de R, f une application k-contractante de I dans R telle que F(I) C(inclus) I. On définit la suite Un par U0 appartient à I et la relation de recurrence U(n+1)=f(Un).
Questions :
1) Montrer par récurrence que pour tout i appartenant à N* , |Ui - U(i-1)|=< K^(i-1)|U1 - U0|
2) Soit l = Lim (Ua(n)) quand n tend vers + infini. Montrer ( en utilisant 1 ) que f(l) - l = Lim ( Ua(n)+1)-(Ua(n)) quand n tend vers + infini , et en déduire que l est un point fixe de f.
3) Montrer alors que pour tout n appartenant à N, |Un - l | =< K^n |U0 - l |
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